Страница 125 номер 363, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Докажите свойство 2 для случайной величины \(X\), имеющей \(n\) значений \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\).
Пусть случайная величина \(X\) принимает значения \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\) с вероятностями \(p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}\), а \(b\) — произвольное число. Докажем свойство 2: \(E(bX) = b \cdot EX\).
Если \(b = 0\), то величина \(bX\) при любом исходе равна 0, поэтому \(E(bX) = 0\). Правая часть тоже равна 0: \(0 \cdot EX = 0\).
Пусть \(b \ne 0\). Тогда случайная величина \(bX\) принимает значения \(bx_{1}, bx_{2}, \ldots, bx_{n}\) (они различны, так как \(b \ne 0\)) с теми же вероятностями \(p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}\). Следовательно, \[\begin{aligned} &E(bX) = bx_{1}p_{1} + bx_{2}p_{2} + \ldots + bx_{n}p_{n} = {} \\ &= b(x_{1}p_{1} + x_{2}p_{2} + \ldots + x_{n}p_{n}). \end{aligned}\]
Сумма в скобках равна \(EX\), поэтому \(E(bX) = b \cdot EX\).
Ответ: для любого числа \(b\) верно \(E(bX) = b \cdot EX\) (свойство 2).
Докажите свойство 2 для случайной величины \(X\), имеющей \(n\) значений \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\).
Пусть случайная величина \(X\) принимает значения \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\) с вероятностями \(p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}\), а \(b\) — произвольное число. Докажем свойство 2: \(E(bX) = b \cdot EX\).
Если \(b = 0\), то величина \(bX\) при любом исходе равна 0, поэтому \(E(bX) = 0\). Правая часть тоже равна 0: \(0 \cdot EX = 0\).
Пусть \(b \ne 0\). Тогда случайная величина \(bX\) принимает значения \(bx_{1}, bx_{2}, \ldots, bx_{n}\) (они различны, так как \(b \ne 0\)) с теми же вероятностями \(p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}\). Следовательно, \[E(bX) = bx_{1}p_{1} + bx_{2}p_{2} + \ldots + bx_{n}p_{n}.\]
Вынесем общий множитель \(b\): \[E(bX) = b(x_{1}p_{1} + x_{2}p_{2} + \ldots + x_{n}p_{n}).\]
Сумма в скобках равна \(EX\), поэтому \(E(bX) = b \cdot EX\).
Ответ: для любого числа \(b\) верно \(E(bX) = b \cdot EX\) (свойство 2).
