Страница 122 номер 352, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
На вокзале игрок предлагает прохожим игру. Он зажимает в кулаке носовой платок так, что четыре уголка торчат наружу между пальцами. Прохожий берёт платок за два уголка и вытягивает его. Если прохожий вытягивает платок за соседние уголки, то проигрывает 50 р. Если прохожий вытягивает два противоположных уголка, то выигрывает 50 р. Составьте распределение и найдите математическое ожидание случайной величины \(X\) «выигрыш прохожего».
Будем считать, что прохожий выбирает два уголка из четырёх наудачу. Обозначим уголки платка по порядку обхода его края буквами \(A\), \(B\), \(C\), \(D\). Пару уголков можно выбрать \(C_{4}^{2} = 6\) способами. Из них \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) — пары соседних уголков, \(AC\), \(BD\) — пары противоположных. Все 6 пар равновозможны, поэтому прохожий проигрывает 50 р. с вероятностью \(\frac{4}{6} = \frac{2}{3}\) и выигрывает 50 р. с вероятностью \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). Проигрыш 50 р. — это выигрыш \(-50\) р., поэтому распределение величины \(X\) такое: \[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Выигрыш } X\text{, р.} & -50 & 50 \st \\ \hline \text{Вероятность} & \dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} \st \\ \hline \end{array}\]
Математическое ожидание выигрыша равно \[\begin{aligned} &EX = (-50) \cdot \frac{2}{3} + 50 \cdot \frac{1}{3} = {} \\ &= -\frac{100}{3} + \frac{50}{3} = -\frac{50}{3} \approx -16{,}67 \text{ (р.).} \end{aligned}\]
Ответ: \(X\) принимает значения \(-50\), 50 с вероятностями \(\frac{2}{3}\), \(\frac{1}{3}\); \(EX = -\frac{50}{3}\) р. \(\approx -16\) р. 67 к.
На вокзале игрок предлагает прохожим игру. Он зажимает в кулаке носовой платок так, что четыре уголка торчат наружу между пальцами. Прохожий берёт платок за два уголка и вытягивает его. Если прохожий вытягивает платок за соседние уголки, то проигрывает 50 р. Если прохожий вытягивает два противоположных уголка, то выигрывает 50 р. Составьте распределение и найдите математическое ожидание случайной величины \(X\) «выигрыш прохожего».
Будем считать, что прохожий выбирает два уголка из четырёх наудачу. Обозначим уголки платка по порядку обхода его края буквами \(A\), \(B\), \(C\), \(D\). Пару уголков можно выбрать \(C_{4}^{2} = 6\) способами. Из них \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) — пары соседних уголков, \(AC\), \(BD\) — пары противоположных. Все 6 пар равновозможны, поэтому прохожий проигрывает 50 р. с вероятностью \(\frac{4}{6} = \frac{2}{3}\) и выигрывает 50 р. с вероятностью \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). Проигрыш 50 р. — это выигрыш \(-50\) р., поэтому распределение величины \(X\) такое: \[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Выигрыш } X\text{, р.} & -50 & 50 \st \\ \hline \text{Вероятность} & \dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} \st \\ \hline \end{array}\]
Математическое ожидание выигрыша равно \[\begin{aligned} &EX = (-50) \cdot \frac{2}{3} + 50 \cdot \frac{1}{3} = {} \\ &= -\frac{100}{3} + \frac{50}{3} = -\frac{50}{3} \approx -16{,}67 \text{ (р.).} \end{aligned}\]
Значит, в среднем за одну игру прохожий проигрывает примерно 16 р. 67 к.
Ответ: \(X\) принимает значения \(-50\), 50 с вероятностями \(\frac{2}{3}\), \(\frac{1}{3}\); \(EX = -\frac{50}{3}\) р. \(\approx -16\) р. 67 к.
