Страница 129 номер 369, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
В таблице 30 дано распределение вероятностей случайной величины \(X\).
Таблица 30
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Значение } X & 1 & 2 & 3 \\ \hline \text{Вероятность} & 0{,}4 & 0{,}1 & 0{,}5 \\ \hline \end{array}\]
а) Составьте распределение случайной величины \(X - EX\) (отклонения от математического ожидания).
б) Составьте распределение квадрата отклонения \((X - EX)^{2}\).
в) Вычислите дисперсию и стандартное отклонение случайной величины \(X\).
\(EX = 1 \cdot 0{,}4 + 2 \cdot 0{,}1 + 3 \cdot 0{,}5 = 2{,}1\).
а) Отклонение \(X - EX = X - 2{,}1\) принимает значения \(1 - 2{,}1 = -1{,}1\);
\(2 - 2{,}1 = -0{,}1\);
\(3 - 2{,}1 = 0{,}9\) с теми же вероятностями, что и значения 1, 2, 3 величины \(X\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Значение } X - EX & -1{,}1 & -0{,}1 & 0{,}9 \\ \hline \text{Вероятность} & 0{,}4 & 0{,}1 & 0{,}5 \\ \hline \end{array}\]
б) Квадраты отклонений: \((-1{,}1)^{2} = 1{,}21\);
\((-0{,}1)^{2} = 0{,}01\);
\(0{,}9^{2} = 0{,}81\). Все они различны, поэтому каждый квадрат принимается с вероятностью своего отклонения:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Значение } (X - EX)^{2} & 1{,}21 & 0{,}01 & 0{,}81 \\ \hline \text{Вероятность} & 0{,}4 & 0{,}1 & 0{,}5 \\ \hline \end{array}\]
в) Дисперсия — математическое ожидание квадрата отклонения:
\[\begin{aligned} &DX = 1{,}21 \cdot 0{,}4 + 0{,}01 \cdot 0{,}1 + 0{,}81 \cdot 0{,}5 = {} \\ &= 0{,}484 + 0{,}001 + 0{,}405 = 0{,}89. \end{aligned}\]
\(\sqrt{DX} = \sqrt{0{,}89} \approx 0{,}94\) — стандартное отклонение.
Ответ: а) \(X - EX\) принимает значения \(-1{,}1\); \(-0{,}1\); \(0{,}9\) с вероятностями \(0{,}4\); \(0{,}1\); \(0{,}5\); б) \((X - EX)^{2}\) принимает значения \(1{,}21\); \(0{,}01\); \(0{,}81\) с вероятностями \(0{,}4\); \(0{,}1\); \(0{,}5\); в) \(DX = 0{,}89\), стандартное отклонение \(\sqrt{DX} \approx 0{,}94\).
В таблице 30 дано распределение вероятностей случайной величины \(X\).
Таблица 30
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Значение } X & 1 & 2 & 3 \\ \hline \text{Вероятность} & 0{,}4 & 0{,}1 & 0{,}5 \\ \hline \end{array}\]
а) Составьте распределение случайной величины \(X - EX\) (отклонения от математического ожидания).
б) Составьте распределение квадрата отклонения \((X - EX)^{2}\).
в) Вычислите дисперсию и стандартное отклонение случайной величины \(X\).
По таблице условия математическое ожидание \(EX = 1 \cdot 0{,}4 + 2 \cdot 0{,}1 + 3 \cdot 0{,}5 = 2{,}1\).
а) Отклонение \(X - EX = X - 2{,}1\) принимает значения \(1 - 2{,}1 = -1{,}1\);
\(2 - 2{,}1 = -0{,}1\);
\(3 - 2{,}1 = 0{,}9\) с теми же вероятностями, что и значения 1, 2, 3 величины \(X\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Значение } X - EX & -1{,}1 & -0{,}1 & 0{,}9 \\ \hline \text{Вероятность} & 0{,}4 & 0{,}1 & 0{,}5 \\ \hline \end{array}\]
б) Квадраты отклонений: \((-1{,}1)^{2} = 1{,}21\);
\((-0{,}1)^{2} = 0{,}01\);
\(0{,}9^{2} = 0{,}81\). Все они различны, поэтому каждый квадрат принимается с вероятностью своего отклонения:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Значение } (X - EX)^{2} & 1{,}21 & 0{,}01 & 0{,}81 \\ \hline \text{Вероятность} & 0{,}4 & 0{,}1 & 0{,}5 \\ \hline \end{array}\]
в) Дисперсия — математическое ожидание квадрата отклонения:
\[\begin{aligned} &DX = 1{,}21 \cdot 0{,}4 + 0{,}01 \cdot 0{,}1 + 0{,}81 \cdot 0{,}5 = {} \\ &= 0{,}484 + 0{,}001 + 0{,}405 = 0{,}89. \end{aligned}\]
Стандартное отклонение — арифметический квадратный корень из дисперсии: \(\sqrt{DX} = \sqrt{0{,}89} \approx 0{,}94\).
Ответ: а) \(X - EX\) принимает значения \(-1{,}1\); \(-0{,}1\); \(0{,}9\) с вероятностями \(0{,}4\); \(0{,}1\); \(0{,}5\); б) \((X - EX)^{2}\) принимает значения \(1{,}21\); \(0{,}01\); \(0{,}81\) с вероятностями \(0{,}4\); \(0{,}1\); \(0{,}5\); в) \(DX = 0{,}89\), стандартное отклонение \(\sqrt{DX} \approx 0{,}94\).
