Страница 132 номер 376, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Докажите второе свойство дисперсии: \(D(bX) = b^{2}DX\), где \(b\) — произвольное число. Указание. Подставьте в формулу \(DX = E(X - EX)^{2}\) выражение \(bX\) вместо \(X\) и упростите полученное выражение, пользуясь свойствами математического ожидания.
Пусть \(b\) — произвольное число. По свойству математического ожидания \(E(bX) = b \cdot EX\), поэтому отклонение величины \(bX\) от её математического ожидания равно \(bX - b \cdot EX = b(X - EX)\), а его квадрат \(b^{2}(X - EX)^{2}\) — это случайная величина \((X - EX)^{2}\), умноженная на число \(b^{2}\). По тому же свойству множитель \(b^{2}\) выносится за знак математического ожидания, и по определению дисперсии
\[\begin{aligned} &D(bX) = E\bigl(bX - E(bX)\bigr)^{2} = E(bX - b \cdot EX)^{2} = {} \\ &= E\bigl(b^{2}(X - EX)^{2}\bigr) = b^{2} \cdot E(X - EX)^{2} = b^{2}DX. \end{aligned}\]
Ответ: для любого числа \(b\) верно равенство \(D(bX) = b^{2}DX\): при умножении случайной величины на число её дисперсия умножается на квадрат этого числа.
Докажите второе свойство дисперсии: \(D(bX) = b^{2}DX\), где \(b\) — произвольное число. Указание. Подставьте в формулу \(DX = E(X - EX)^{2}\) выражение \(bX\) вместо \(X\) и упростите полученное выражение, пользуясь свойствами математического ожидания.
Пусть \(b\) — произвольное число. По определению дисперсия величины \(bX\) — это математическое ожидание квадрата её отклонения от её математического ожидания \(E(bX)\). По свойству математического ожидания \(E(bX) = b \cdot EX\), поэтому отклонение равно \(bX - b \cdot EX = b(X - EX)\), а его квадрат \(b^{2}(X - EX)^{2}\) — это случайная величина \((X - EX)^{2}\), умноженная на число \(b^{2}\). По тому же свойству множитель \(b^{2}\) выносится за знак математического ожидания:
\[\begin{aligned} &D(bX) = E\bigl(bX - E(bX)\bigr)^{2} = E(bX - b \cdot EX)^{2} = {} \\ &= E\bigl(b^{2}(X - EX)^{2}\bigr) = b^{2} \cdot E(X - EX)^{2} = b^{2}DX. \end{aligned}\]
Ответ: для любого числа \(b\) верно равенство \(D(bX) = b^{2}DX\): при умножении случайной величины на число её дисперсия умножается на квадрат этого числа.
