Страница 131 номер 371, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Дано распределение случайной величины \(X\). Пользуясь формулой \(DX = EX^{2} - E^{2}X\), найдите дисперсию величины \(X\).
а) Таблица 34
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Значение } X & -2 & 0 & 1 & 3 \\ \hline \text{Вероятность} & 0{,}3 & 0{,}3 & 0{,}3 & 0{,}1 \\ \hline \end{array}\]
б) Таблица 35
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Значение } X & -2 & -1 & 2 & 5 \\ \hline \text{Вероятность} & 0{,}1 & 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}6 \\ \hline \end{array}\]
а) Добавим в таблицу строку для значений \(X^{2}\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Значения } X & -2 & 0 & 1 & 3 \\ \hline \text{Значения } X^{2} & 4 & 0 & 1 & 9 \\ \hline \text{Вероятности} & 0{,}3 & 0{,}3 & 0{,}3 & 0{,}1 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{aligned} EX &= (-2) \cdot 0{,}3 + 0 \cdot 0{,}3 + 1 \cdot 0{,}3 + 3 \cdot 0{,}1 = 0; \\ EX^{2} &= 4 \cdot 0{,}3 + 0 \cdot 0{,}3 + 1 \cdot 0{,}3 + 9 \cdot 0{,}1 = 2{,}4. \end{aligned}\]
\(DX = EX^{2} - E^{2}X = 2{,}4 - 0^{2} = 2{,}4\).
б) Добавим в таблицу строку для значений \(X^{2}\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Значения } X & -2 & -1 & 2 & 5 \\ \hline \text{Значения } X^{2} & 4 & 1 & 4 & 25 \\ \hline \text{Вероятности} & 0{,}1 & 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}6 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{aligned} EX &= (-2) \cdot 0{,}1 + (-1) \cdot 0{,}1 + 2 \cdot 0{,}2 + 5 \cdot 0{,}6 = 3{,}1; \\ EX^{2} &= 4 \cdot 0{,}1 + 1 \cdot 0{,}1 + 4 \cdot 0{,}2 + 25 \cdot 0{,}6 = 16{,}3. \end{aligned}\]
\(DX = EX^{2} - E^{2}X = 16{,}3 - 3{,}1^{2} = 16{,}3 - 9{,}61 = 6{,}69\).
Ответ: а) \(DX = 2{,}4\); б) \(DX = 6{,}69\).
Дано распределение случайной величины \(X\). Пользуясь формулой \(DX = EX^{2} - E^{2}X\), найдите дисперсию величины \(X\).
а) Таблица 34
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Значение } X & -2 & 0 & 1 & 3 \\ \hline \text{Вероятность} & 0{,}3 & 0{,}3 & 0{,}3 & 0{,}1 \\ \hline \end{array}\]
б) Таблица 35
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Значение } X & -2 & -1 & 2 & 5 \\ \hline \text{Вероятность} & 0{,}1 & 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}6 \\ \hline \end{array}\]
а) Добавим в таблицу строку для значений \(X^{2}\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Значения } X & -2 & 0 & 1 & 3 \\ \hline \text{Значения } X^{2} & 4 & 0 & 1 & 9 \\ \hline \text{Вероятности} & 0{,}3 & 0{,}3 & 0{,}3 & 0{,}1 \\ \hline \end{array}\]
Вычислим математические ожидания:
\[\begin{aligned} EX &= (-2) \cdot 0{,}3 + 0 \cdot 0{,}3 + 1 \cdot 0{,}3 + 3 \cdot 0{,}1 = 0; \\ EX^{2} &= 4 \cdot 0{,}3 + 0 \cdot 0{,}3 + 1 \cdot 0{,}3 + 9 \cdot 0{,}1 = 2{,}4. \end{aligned}\]
Следовательно, \(DX = EX^{2} - E^{2}X = 2{,}4 - 0^{2} = 2{,}4\).
б) Добавим в таблицу строку для значений \(X^{2}\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Значения } X & -2 & -1 & 2 & 5 \\ \hline \text{Значения } X^{2} & 4 & 1 & 4 & 25 \\ \hline \text{Вероятности} & 0{,}1 & 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}6 \\ \hline \end{array}\]
Вычислим математические ожидания:
\[\begin{aligned} EX &= (-2) \cdot 0{,}1 + (-1) \cdot 0{,}1 + 2 \cdot 0{,}2 + 5 \cdot 0{,}6 = 3{,}1; \\ EX^{2} &= 4 \cdot 0{,}1 + 1 \cdot 0{,}1 + 4 \cdot 0{,}2 + 25 \cdot 0{,}6 = 16{,}3. \end{aligned}\]
Следовательно, \(DX = EX^{2} - E^{2}X = 16{,}3 - 3{,}1^{2} = 16{,}3 - 9{,}61 = 6{,}69\).
Ответ: а) \(DX = 2{,}4\); б) \(DX = 6{,}69\).
