Страница 122 номер 353, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень

При двух бросаниях кости \(6 \cdot 6 = 36\) равновозможных элементарных событий, вероятность каждого из них равна \(\frac{1}{36}\). Запишем их в таблицу: строка — число очков при первом броске, столбец — при втором.

а) В каждую клетку таблицы впишем наибольшее из двух выпавших чисел очков: \[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 2 & 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 3 & 3 & 3 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 4 & 4 & 4 & 4 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 5 & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 & 6 \\ \hline 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 \\ \hline \end{array}\]

Значение 1 стоит в одной клетке, 2 — в трёх, 3 — в пяти, 4 — в семи, 5 — в девяти, 6 — в одиннадцати клетках. Распределение величины \(Y\): \[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Значение } Y & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \st \\ \hline \text{Вероятность} & \dfrac{1}{36} & \dfrac{3}{36} & \dfrac{5}{36} & \dfrac{7}{36} & \dfrac{9}{36} & \dfrac{11}{36} \st \\ \hline \end{array}\]

Математическое ожидание величины \(Y\) равно \[\begin{aligned} &EY = 1 \cdot \frac{1}{36} + 2 \cdot \frac{3}{36} + 3 \cdot \frac{5}{36} + {} \\ &+ 4 \cdot \frac{7}{36} + 5 \cdot \frac{9}{36} + 6 \cdot \frac{11}{36} = {} \\ &= \frac{1 + 6 + 15 + 28 + 45 + 66}{36} = \frac{161}{36} \approx 4{,}47. \end{aligned}\]

б) В каждую клетку таблицы впишем наименьшее из двух выпавших чисел очков: \[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 2 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ \hline 3 & 1 & 2 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ \hline 4 & 1 & 2 & 3 & 4 & 4 & 4 \\ \hline 5 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 5 \\ \hline 6 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \end{array}\]

Значение 1 стоит в одиннадцати клетках, 2 — в девяти, 3 — в семи, 4 — в пяти, 5 — в трёх, 6 — в одной клетке. Распределение величины \(Y\): \[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Значение } Y & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \st \\ \hline \text{Вероятность} & \dfrac{11}{36} & \dfrac{9}{36} & \dfrac{7}{36} & \dfrac{5}{36} & \dfrac{3}{36} & \dfrac{1}{36} \st \\ \hline \end{array}\]

Математическое ожидание величины \(Y\) равно \[\begin{aligned} &EY = 1 \cdot \frac{11}{36} + 2 \cdot \frac{9}{36} + 3 \cdot \frac{7}{36} + {} \\ &+ 4 \cdot \frac{5}{36} + 5 \cdot \frac{3}{36} + 6 \cdot \frac{1}{36} = {} \\ &= \frac{11 + 18 + 21 + 20 + 15 + 6}{36} = \frac{91}{36} \approx 2{,}53. \end{aligned}\]

Ответ: а) \(EY \approx 4{,}47\); б) \(EY \approx 2{,}53\).