Страница 132 номер 375, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Докажите первое свойство дисперсии: \(D(X + a) = DX\), где \(a\) — произвольное число. Указание. Подставьте в формулу \(DX = E(X - EX)^{2}\) выражение \(X + a\) вместо \(X\) и упростите полученное выражение, пользуясь свойствами математического ожидания.
Пусть \(a\) — произвольное число. По свойству математического ожидания \(E(X + a) = EX + a\), поэтому по определению дисперсии
\[\begin{aligned} &D(X + a) = E\bigl(X + a - E(X + a)\bigr)^{2} = {} \\ &= E(X + a - EX - a)^{2} = E(X - EX)^{2} = DX. \end{aligned}\]
Ответ: для любого числа \(a\) верно равенство \(D(X + a) = DX\): при сдвиге случайной величины на число её дисперсия не меняется.
Докажите первое свойство дисперсии: \(D(X + a) = DX\), где \(a\) — произвольное число. Указание. Подставьте в формулу \(DX = E(X - EX)^{2}\) выражение \(X + a\) вместо \(X\) и упростите полученное выражение, пользуясь свойствами математического ожидания.
Пусть \(a\) — произвольное число. По определению дисперсия величины \(X + a\) — это математическое ожидание квадрата её отклонения от её математического ожидания \(E(X + a)\). По свойству математического ожидания \(E(X + a) = EX + a\), поэтому
\[\begin{aligned} &D(X + a) = E\bigl(X + a - E(X + a)\bigr)^{2} = {} \\ &= E(X + a - EX - a)^{2} = E(X - EX)^{2} = DX. \end{aligned}\]
Ответ: для любого числа \(a\) верно равенство \(D(X + a) = DX\): при сдвиге случайной величины на число её дисперсия не меняется.
