Страница 125 номер 359, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Найдите математическое ожидание суммы очков при бросании: а) 5 игральных костей; б) 7 игральных костей; в) 100 игральных костей; г) \(k\) игральных костей.
Пусть \(X_{1}, X_{2}, X_{3}, \ldots\) — числа очков, выпавших на первой, второй, третьей и следующих костях. Каждая из этих величин принимает значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, каждое — с вероятностью \(\frac{1}{6}\), поэтому её математическое ожидание равно \(\frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3{,}5\). Сумма очков — сумма этих величин.
а) \(E(X_{1} + X_{2} + \ldots + X_{5}) = EX_{1} + EX_{2} + \ldots + EX_{5} = 5 \cdot 3{,}5 = 17{,}5\).
б) \(E(X_{1} + X_{2} + \ldots + X_{7}) = EX_{1} + EX_{2} + \ldots + EX_{7} = 7 \cdot 3{,}5 = 24{,}5\).
в) \(E(X_{1} + X_{2} + \ldots + X_{100}) = EX_{1} + EX_{2} + \ldots + EX_{100} = 100 \cdot 3{,}5 = 350\).
г) \(E(X_{1} + X_{2} + \ldots + X_{k}) = EX_{1} + EX_{2} + \ldots + EX_{k} = 3{,}5k\).
Ответ: а) \(17{,}5\); б) \(24{,}5\); в) 350; г) \(3{,}5k\).
Найдите математическое ожидание суммы очков при бросании: а) 5 игральных костей; б) 7 игральных костей; в) 100 игральных костей; г) \(k\) игральных костей.
Пусть \(X_{1}, X_{2}, X_{3}, \ldots\) — числа очков, выпавших на первой, второй, третьей и следующих костях. Каждая из этих величин принимает значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, каждое — с вероятностью \(\frac{1}{6}\), поэтому её математическое ожидание равно \(\frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3{,}5\). Сумма очков — сумма этих величин, а математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий.
а) \(E(X_{1} + X_{2} + \ldots + X_{5}) = EX_{1} + EX_{2} + \ldots + EX_{5} = 5 \cdot 3{,}5 = 17{,}5\).
б) \(E(X_{1} + X_{2} + \ldots + X_{7}) = EX_{1} + EX_{2} + \ldots + EX_{7} = 7 \cdot 3{,}5 = 24{,}5\).
в) \(E(X_{1} + X_{2} + \ldots + X_{100}) = EX_{1} + EX_{2} + \ldots + EX_{100} = 100 \cdot 3{,}5 = 350\).
г) \(E(X_{1} + X_{2} + \ldots + X_{k}) = EX_{1} + EX_{2} + \ldots + EX_{k} = 3{,}5k\).
Ответ: а) \(17{,}5\); б) \(24{,}5\); в) 350; г) \(3{,}5k\).
