Страница 125 номер 360, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Проводится моментальная лотерея (лотерея-спринт). Цена одного билета равна 50 р. Выигрыши и их вероятности даны в таблице 28.
Таблица 28
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Выигрыш, р.} & 50 & 250 & 500 & 5000 & 10\,000 & 20\,000 \\ \hline \text{Вероятность} & 0{,}1 & 0{,}02 & 0{,}01 & 0{,}001 & 0{,}0001 & 0{,}00001 \\ \hline \end{array}\]
Найдите математическое ожидание случайной величины «выигрыш на один билет»:
а) без учёта цены билета;
б) учитывая цену билета.
Обозначим буквой \(X\) выигрыш на один билет без учёта цены билета. В таблице условия — только выигрышные билеты: сумма вероятностей в ней равна \(0{,}1 + 0{,}02 + 0{,}01 + 0{,}001 + 0{,}0001 + 0{,}00001 = 0{,}13111\). Остальные билеты не выигрывают ничего: \(X = 0\) с вероятностью \(1 - 0{,}13111 = 0{,}86889\).
а) Математическое ожидание выигрыша равно \[\begin{aligned} &EX = 0 \cdot 0{,}86889 + 50 \cdot 0{,}1 + 250 \cdot 0{,}02 + {} \\ &+ 500 \cdot 0{,}01 + 5000 \cdot 0{,}001 + 10\,000 \cdot 0{,}0001 + {} \\ &+ 20\,000 \cdot 0{,}00001 = {} \\ &= 0 + 5 + 5 + 5 + 5 + 1 + 0{,}2 = 21{,}2 \text{ (р.).} \end{aligned}\]
б) С учётом цены билета выигрыш участника на один билет равен \(X - 50\) (р.). По свойству \(E(X + a) = EX + a\) \[E(X - 50) = EX - 50 = 21{,}2 - 50 = -28{,}8 \text{ (р.).}\]
Ответ: а) 21 р. 20 к.; б) \(-28\) р. 80 к.
Проводится моментальная лотерея (лотерея-спринт). Цена одного билета равна 50 р. Выигрыши и их вероятности даны в таблице 28.
Таблица 28
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Выигрыш, р.} & 50 & 250 & 500 & 5000 & 10\,000 & 20\,000 \\ \hline \text{Вероятность} & 0{,}1 & 0{,}02 & 0{,}01 & 0{,}001 & 0{,}0001 & 0{,}00001 \\ \hline \end{array}\]
Найдите математическое ожидание случайной величины «выигрыш на один билет»:
а) без учёта цены билета;
б) учитывая цену билета.
Обозначим буквой \(X\) выигрыш на один билет без учёта цены билета. В таблице условия — только выигрышные билеты: сумма вероятностей в ней равна \(0{,}1 + 0{,}02 + 0{,}01 + 0{,}001 + 0{,}0001 + 0{,}00001 = 0{,}13111\). Остальные билеты не выигрывают ничего: \(X = 0\) с вероятностью \(1 - 0{,}13111 = 0{,}86889\).
а) Математическое ожидание выигрыша равно \[\begin{aligned} &EX = 0 \cdot 0{,}86889 + 50 \cdot 0{,}1 + 250 \cdot 0{,}02 + {} \\ &+ 500 \cdot 0{,}01 + 5000 \cdot 0{,}001 + 10\,000 \cdot 0{,}0001 + {} \\ &+ 20\,000 \cdot 0{,}00001 = {} \\ &= 0 + 5 + 5 + 5 + 5 + 1 + 0{,}2 = 21{,}2 \text{ (р.).} \end{aligned}\]
б) С учётом цены билета выигрыш участника на один билет равен \(X - 50\) (р.). По свойству \(E(X + a) = EX + a\) \[E(X - 50) = EX - 50 = 21{,}2 - 50 = -28{,}8 \text{ (р.).}\]
Значит, в среднем участник лотереи теряет на каждом билете 28 р. 80 к.
Ответ: а) 21 р. 20 к.; б) \(-28\) р. 80 к.
