Вопросы после параграфа §90 на странице 121, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Высоцкого часть 2
Если величина \(X\) принимает значения \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\) с вероятностями \(p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}\), то \[EX = x_{1}p_{1} + x_{2}p_{2} + \ldots + x_{n}p_{n}.\]
Если значений бесконечно много, то и слагаемых в этой сумме бесконечно много.
Ответ: математическое ожидание дискретной случайной величины — сумма произведений её значений и их вероятностей.
Нет. Пусть все значения \(x_{1}, x_{2}, \ldots\) случайной величины \(X\) положительны. Их вероятности \(p_{1}, p_{2}, \ldots\) неотрицательны, а сумма вероятностей равна 1, поэтому хотя бы одна из них положительна. Значит, все произведения \(x_{1}p_{1}, x_{2}p_{2}, \ldots\) неотрицательны и хотя бы одно из них положительно, поэтому их сумма — математическое ожидание — положительна: \(EX > 0\).
Ответ: нет; если математическое ожидание такой величины существует, то оно положительно.
Нет. Например, пусть случайная величина \(Y\) принимает значения \(2, 4, 8, 16, \ldots, 2^{k}, \ldots\) с вероятностями \(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \ldots, \frac{1}{2^{k}}, \ldots\). Вероятности образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом \(\frac{1}{2}\) и знаменателем \(\frac{1}{2}\), поэтому их сумма равна \(\frac{1}{2} : \left(1 - \frac{1}{2}\right) = 1\). Сумма произведений значений и их вероятностей — бесконечная сумма единиц: \[\begin{aligned} &2 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{1}{4} + 8 \cdot \frac{1}{8} + 16 \cdot \frac{1}{16} + \ldots = {} \\ &= 1 + 1 + 1 + 1 + \ldots . \end{aligned}\]
Такая сумма не равна никакому числу, поэтому математического ожидания у величины \(Y\) нет.
Ответ: нет; например, у случайной величины, которая принимает значения \(2^{k}\) с вероятностями \(\frac{1}{2^{k}}\) при \(k = 1, 2, 3, \ldots\), математического ожидания нет.
Число очков \(X\) принимает значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, каждое — с вероятностью \(\frac{1}{6}\). Поэтому \[\begin{aligned} &EX = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + {} \\ &+ 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = {} \\ &= \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5. \end{aligned}\]
Ответ: \(EX = 3{,}5\).
Математическое ожидание дискретной случайной величины — это сумма произведений значений этой величины и их вероятностей. Если величина \(X\) принимает значения \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\) с вероятностями \(p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}\), то \[EX = x_{1}p_{1} + x_{2}p_{2} + \ldots + x_{n}p_{n}.\]
Если значений бесконечно много, то и слагаемых в этой сумме бесконечно много. Математическое ожидание — среднее значение случайной величины: оно находится так же, как среднее числового набора по частотам значений, только вместо частот берутся вероятности. Например, если \(X\) принимает значения 1 и 3 с вероятностями \(0{,}4\) и \(0{,}6\), то \(EX = 1 \cdot 0{,}4 + 3 \cdot 0{,}6 = 2{,}2\).
Ответ: математическое ожидание дискретной случайной величины — сумма произведений её значений и их вероятностей.
Нет. Пусть все значения \(x_{1}, x_{2}, \ldots\) случайной величины \(X\) положительны. Их вероятности \(p_{1}, p_{2}, \ldots\) неотрицательны, а сумма вероятностей равна 1, поэтому хотя бы одна из них положительна. Значит, все произведения \(x_{1}p_{1}, x_{2}p_{2}, \ldots\) неотрицательны и хотя бы одно из них положительно, поэтому их сумма — математическое ожидание — положительна: \(EX > 0\).
Ответ: нет; если математическое ожидание такой величины существует, то оно положительно.
Нет. Например, пусть случайная величина \(Y\) принимает значения \(2, 4, 8, 16, \ldots, 2^{k}, \ldots\) с вероятностями \(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \ldots, \frac{1}{2^{k}}, \ldots\). Вероятности образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом \(\frac{1}{2}\) и знаменателем \(\frac{1}{2}\), поэтому их сумма равна \(\frac{1}{2} : \left(1 - \frac{1}{2}\right) = 1\). Сумма произведений значений и их вероятностей — бесконечная сумма единиц: \[\begin{aligned} &2 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{1}{4} + 8 \cdot \frac{1}{8} + 16 \cdot \frac{1}{16} + \ldots = {} \\ &= 1 + 1 + 1 + 1 + \ldots . \end{aligned}\]
Такая сумма не равна никакому числу, поэтому математического ожидания у величины \(Y\) нет.
Ответ: нет; например, у случайной величины, которая принимает значения \(2^{k}\) с вероятностями \(\frac{1}{2^{k}}\) при \(k = 1, 2, 3, \ldots\), математического ожидания нет.
Число очков \(X\) принимает значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, каждое — с вероятностью \(\frac{1}{6}\). Поэтому \[\begin{aligned} &EX = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + {} \\ &+ 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = {} \\ &= \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5. \end{aligned}\]
Ответ: \(EX = 3{,}5\).
