Страница 114 номер 340, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Стрелок стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Вероятность поражения мишени при каждом отдельном выстреле равна \(p\), а вероятность промаха равна \(q = 1 - p\). Составьте распределение случайной величины:
\[I = \begin{cases} 1, & \text{если событие произошло } A, \\ 0 & \text{если событие произошло } \overline{A}. \end{cases}\]
а) \(A\) = {при втором выстреле случился промах};
б) \(A\) = {при четвёртом выстреле случился промах};
в) \(A\) = {при \(k\)-м выстреле случился промах};
г) \(A\) = {потребовалось не менее \(k\) выстрелов}.
Будем считать, что выстрелы не зависят друг от друга. Стрелок стреляет до первого попадания, поэтому очередной выстрел состоится, только если все предыдущие выстрелы были промахами. Величина \(I\) равна 1, если событие \(A\) произошло, и 0, если событие \(A\) не произошло, поэтому \({P(I = 1)} = P(A)\) и \({P(I = 0)} = 1 - P(A)\).
а) Промах при втором выстреле означает, что второй выстрел состоялся, то есть при первом выстреле был промах, и при втором выстреле — тоже промах: \(P(A) = q \cdot q = q^{2}\).
\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Значение } I & 0 & 1 \\ \hline \text{Вероятность} & 1 - q^{2} & q^{2} \\ \hline \end{array}\]
б) Промах при четвёртом выстреле означает, что промахами закончились все первые четыре выстрела: \(P(A) = q^{4}\).
\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Значение } I & 0 & 1 \\ \hline \text{Вероятность} & 1 - q^{4} & q^{4} \\ \hline \end{array}\]
в) Промах при \(k\)-м выстреле означает, что промахами закончились все первые \(k\) выстрелов: \(P(A) = q^{k}\).
\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Значение } I & 0 & 1 \\ \hline \text{Вероятность} & 1 - q^{k} & q^{k} \\ \hline \end{array}\]
г) Не менее \(k\) выстрелов потребовалось тогда и только тогда, когда первые \(k - 1\) выстрелов — промахи: \(P(A) = q^{k - 1}\).
\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Значение } I & 0 & 1 \\ \hline \text{Вероятность} & 1 - q^{k - 1} & q^{k - 1} \\ \hline \end{array}\]
Ответ: \(I\) принимает значения 0 и 1 с вероятностями: а) \(1 - q^{2}\) и \(q^{2}\); б) \(1 - q^{4}\) и \(q^{4}\); в) \(1 - q^{k}\) и \(q^{k}\); г) \(1 - q^{k - 1}\) и \(q^{k - 1}\).
