Страница 116 номер 344, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Для серии из четырёх испытаний Бернулли постройте таблицу и диаграмму распределения случайной величины «число успехов» при: а) \(p = 0{,}4\); б) \(p = 0{,}6\). Сравните полученные диаграммы. Что о них можно сказать?
Число успехов \(S\) в серии из четырёх испытаний Бернулли имеет биномиальное распределение: \({P(S = k)} = C_{4}^{k}p^{k}q^{4 - k}\), где \(k = 0, 1, 2, 3, 4\).
а) При \(p = 0{,}4\) вероятность неудачи \(q = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\):
\[\begin{aligned} P(S = 0) &= C_{4}^{0} \cdot 0{,}6^{4} = 0{,}1296; \\ P(S = 1) &= C_{4}^{1} \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6^{3} = 0{,}3456; \\ P(S = 2) &= C_{4}^{2} \cdot 0{,}4^{2} \cdot 0{,}6^{2} = 0{,}3456; \\ P(S = 3) &= C_{4}^{3} \cdot 0{,}4^{3} \cdot 0{,}6 = 0{,}1536; \\ P(S = 4) &= C_{4}^{4} \cdot 0{,}4^{4} = 0{,}0256. \end{aligned}\] \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline P(S = k) & 0{,}1296 & 0{,}3456 & 0{,}3456 & 0{,}1536 & 0{,}0256 \\ \hline \end{array}\]
Сумма всех вероятностей равна \(0{,}1296 + 0{,}3456 + 0{,}3456 + 0{,}1536 + 0{,}0256 = 1\). Построим диаграмму распределения:
б) При \(p = 0{,}6\) вероятность неудачи \(q = 1 - 0{,}6 = 0{,}4\):
\[\begin{aligned} P(S = 0) &= C_{4}^{0} \cdot 0{,}4^{4} = 0{,}0256; \\ P(S = 1) &= C_{4}^{1} \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}4^{3} = 0{,}1536; \\ P(S = 2) &= C_{4}^{2} \cdot 0{,}6^{2} \cdot 0{,}4^{2} = 0{,}3456; \\ P(S = 3) &= C_{4}^{3} \cdot 0{,}6^{3} \cdot 0{,}4 = 0{,}3456; \\ P(S = 4) &= C_{4}^{4} \cdot 0{,}6^{4} = 0{,}1296. \end{aligned}\] \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline P(S = k) & 0{,}0256 & 0{,}1536 & 0{,}3456 & 0{,}3456 & 0{,}1296 \\ \hline \end{array}\]
Построим диаграмму распределения:
Диаграммы — зеркальные отражения друг друга: столбик над значением \(k\) при \(p = 0{,}6\) такой же высоты, как столбик над значением \(4 - k\) при \(p = 0{,}4\). Причина в том, что при замене успеха неудачей \(p\) и \(q\) меняются ролями: вероятность \(k\) успехов при \(p = 0{,}6\) равна \(C_{4}^{k} \cdot 0{,}6^{k} \cdot 0{,}4^{4 - k}\), вероятность \(4 - k\) успехов при \(p = 0{,}4\) равна \(C_{4}^{4 - k} \cdot 0{,}4^{4 - k} \cdot 0{,}6^{k}\), а числа сочетаний \(C_{4}^{k}\) и \(C_{4}^{4 - k}\) равны. Сами диаграммы несимметричны: при \(p = 0{,}4\) наиболее вероятны значения 1 и 2, при \(p = 0{,}6\) — значения 2 и 3.
Ответ: а) \(S\) принимает значения 0, 1, 2, 3, 4 с вероятностями \(0{,}1296\); \(0{,}3456\); \(0{,}3456\); \(0{,}1536\); \(0{,}0256\); б) \(S\) принимает значения 0, 1, 2, 3, 4 с вероятностями \(0{,}0256\); \(0{,}1536\); \(0{,}3456\); \(0{,}3456\); \(0{,}1296\); диаграммы — зеркальные отражения друг друга: вероятность \(k\) успехов при \(p = 0{,}6\) равна вероятности \(4 - k\) успехов при \(p = 0{,}4\).
Для серии из четырёх испытаний Бернулли постройте таблицу и диаграмму распределения случайной величины «число успехов» при: а) \(p = 0{,}4\); б) \(p = 0{,}6\). Сравните полученные диаграммы. Что о них можно сказать?
Число успехов \(S\) в серии из четырёх испытаний Бернулли имеет биномиальное распределение: \({P(S = k)} = C_{4}^{k}p^{k}q^{4 - k}\), где \(k = 0, 1, 2, 3, 4\).
а) При \(p = 0{,}4\) вероятность неудачи \(q = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\):
\[\begin{aligned} P(S = 0) &= C_{4}^{0} \cdot 0{,}6^{4} = 0{,}1296; \\ P(S = 1) &= C_{4}^{1} \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6^{3} = 0{,}3456; \\ P(S = 2) &= C_{4}^{2} \cdot 0{,}4^{2} \cdot 0{,}6^{2} = 0{,}3456; \\ P(S = 3) &= C_{4}^{3} \cdot 0{,}4^{3} \cdot 0{,}6 = 0{,}1536; \\ P(S = 4) &= C_{4}^{4} \cdot 0{,}4^{4} = 0{,}0256. \end{aligned}\]
Таблица распределения:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline P(S = k) & 0{,}1296 & 0{,}3456 & 0{,}3456 & 0{,}1536 & 0{,}0256 \\ \hline \end{array}\]
Сумма всех вероятностей равна \(0{,}1296 + 0{,}3456 + 0{,}3456 + 0{,}1536 + 0{,}0256 = 1\). Построим диаграмму распределения:
б) При \(p = 0{,}6\) вероятность неудачи \(q = 1 - 0{,}6 = 0{,}4\):
\[\begin{aligned} P(S = 0) &= C_{4}^{0} \cdot 0{,}4^{4} = 0{,}0256; \\ P(S = 1) &= C_{4}^{1} \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}4^{3} = 0{,}1536; \\ P(S = 2) &= C_{4}^{2} \cdot 0{,}6^{2} \cdot 0{,}4^{2} = 0{,}3456; \\ P(S = 3) &= C_{4}^{3} \cdot 0{,}6^{3} \cdot 0{,}4 = 0{,}3456; \\ P(S = 4) &= C_{4}^{4} \cdot 0{,}6^{4} = 0{,}1296. \end{aligned}\]
Таблица распределения:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline P(S = k) & 0{,}0256 & 0{,}1536 & 0{,}3456 & 0{,}3456 & 0{,}1296 \\ \hline \end{array}\]
Построим диаграмму распределения:
Диаграммы — зеркальные отражения друг друга: столбик над значением \(k\) при \(p = 0{,}6\) такой же высоты, как столбик над значением \(4 - k\) при \(p = 0{,}4\). Причина в том, что при замене успеха неудачей \(p\) и \(q\) меняются ролями: вероятность \(k\) успехов при \(p = 0{,}6\) равна \(C_{4}^{k} \cdot 0{,}6^{k} \cdot 0{,}4^{4 - k}\), вероятность \(4 - k\) успехов при \(p = 0{,}4\) равна \(C_{4}^{4 - k} \cdot 0{,}4^{4 - k} \cdot 0{,}6^{k}\), а числа сочетаний \(C_{4}^{k}\) и \(C_{4}^{4 - k}\) равны. Сами диаграммы несимметричны: при \(p = 0{,}4\) наиболее вероятны значения 1 и 2, при \(p = 0{,}6\) — значения 2 и 3.
Ответ: а) \(S\) принимает значения 0, 1, 2, 3, 4 с вероятностями \(0{,}1296\); \(0{,}3456\); \(0{,}3456\); \(0{,}1536\); \(0{,}0256\); б) \(S\) принимает значения 0, 1, 2, 3, 4 с вероятностями \(0{,}0256\); \(0{,}1536\); \(0{,}3456\); \(0{,}3456\); \(0{,}1296\); диаграммы — зеркальные отражения друг друга: вероятность \(k\) успехов при \(p = 0{,}6\) равна вероятности \(4 - k\) успехов при \(p = 0{,}4\).
