Страница 112 номер 331, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Пусть случайная величина \(T\) «срок службы нового смартфона в годах» равна числу полных или неполных лет, которые смартфон проработал до первой поломки. Например, если он вышел из строя в течение первого же года, то \(T = 1\). Вероятность этого равна \(p = 0{,}2\). Случайная величина \(T\) имеет геометрическое распределение. Сформулируйте словами событие и найдите его вероятность: а) \((T = 3)\); б) \((T = 4)\); в) \((T \le 4)\); г) \((T > 3)\).
Величина \(T\) имеет геометрическое распределение; успех — поломка смартфона в течение очередного года службы, \(p = 0{,}2\), неудача — год без поломки, \(q = 1 - 0{,}2 = 0{,}8\). Поэтому \({P(T = k)} = q^{k - 1}p = 0{,}8^{k - 1} \cdot 0{,}2\).
а) Событие \((T = 3)\): смартфон выйдет из строя в течение третьего года службы (первые два года он проработает без поломок).
\[P(T = 3) = 0{,}8^{2} \cdot 0{,}2 = 0{,}64 \cdot 0{,}2 = 0{,}128.\]
б) Событие \((T = 4)\): смартфон выйдет из строя в течение четвёртого года службы.
\[P(T = 4) = 0{,}8^{3} \cdot 0{,}2 = 0{,}512 \cdot 0{,}2 = 0{,}1024.\]
в) Событие \((T \leqslant 4)\): смартфон выйдет из строя в течение первых четырёх лет, то есть прослужит не больше четырёх лет. Противоположное событие \((T > 4)\) — первые четыре года смартфон проработает без поломок, его вероятность \(q^{4} = 0{,}8^{4} = 0{,}4096\). Значит,
\[P(T \leqslant 4) = 1 - 0{,}4096 = 0{,}5904.\]
г) Событие \((T > 3)\): смартфон прослужит больше трёх лет, то есть первые три года проработает без поломок.
\[P(T > 3) = q^{3} = 0{,}8^{3} = 0{,}512.\]
Ответ: а) смартфон выйдет из строя в течение третьего года службы, \({P(T = 3)} = 0{,}128\); б) смартфон выйдет из строя в течение четвёртого года службы, \({P(T = 4)} = 0{,}1024\); в) смартфон прослужит не больше четырёх лет, \({P(T \leqslant 4)} = 0{,}5904\); г) смартфон прослужит больше трёх лет, \({P(T > 3)} = 0{,}512\).
