Страница 116 номер 342, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Постройте таблицу и диаграмму распределения для случайной величины «число орлов», если монету бросают: а) четыре раза; б) пять раз.
Будем считать монету симметричной. Каждое бросание монеты — испытание Бернулли: успех — орёл, \(p = q = 0{,}5\). Монету бросают \(n\) раз — это серия из \(n\) испытаний Бернулли, поэтому число орлов \(S\) имеет биномиальное распределение: \({P(S = k)} = C_{n}^{k}p^{k}q^{n - k} = C_{n}^{k} \cdot 0{,}5^{n}\).
а) При \(n = 4\) получаем \({P(S = k)} = C_{4}^{k} \cdot 0{,}5^{4} = \frac{C_{4}^{k}}{16}\):
\[\begin{aligned} P(S = 0) &= \frac{C_{4}^{0}}{16} = \frac{1}{16}; \\ P(S = 1) &= \frac{C_{4}^{1}}{16} = \frac{4}{16}; \\ P(S = 2) &= \frac{C_{4}^{2}}{16} = \frac{6}{16}; \\ P(S = 3) &= \frac{C_{4}^{3}}{16} = \frac{4}{16}; \\ P(S = 4) &= \frac{C_{4}^{4}}{16} = \frac{1}{16}. \end{aligned}\] \[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \st \\ \hline P(S = k) & \dfrac{1}{16} & \dfrac{4}{16} & \dfrac{6}{16} & \dfrac{4}{16} & \dfrac{1}{16} \st \\ \hline \end{array}\]
Сумма всех вероятностей равна \(\frac{1 + 4 + 6 + 4 + 1}{16} = \frac{16}{16} = 1\). Построим диаграмму распределения:
б) При \(n = 5\) получаем \({P(S = k)} = C_{5}^{k} \cdot 0{,}5^{5} = \frac{C_{5}^{k}}{32}\):
\[\begin{aligned} P(S = 0) &= \frac{C_{5}^{0}}{32} = \frac{1}{32}; \\ P(S = 1) &= \frac{C_{5}^{1}}{32} = \frac{5}{32}; \\ P(S = 2) &= \frac{C_{5}^{2}}{32} = \frac{10}{32}; \\ P(S = 3) &= \frac{C_{5}^{3}}{32} = \frac{10}{32}; \\ P(S = 4) &= \frac{C_{5}^{4}}{32} = \frac{5}{32}; \\ P(S = 5) &= \frac{C_{5}^{5}}{32} = \frac{1}{32}. \end{aligned}\] \[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \st \\ \hline P(S = k) & \dfrac{1}{32} & \dfrac{5}{32} & \dfrac{10}{32} & \dfrac{10}{32} & \dfrac{5}{32} & \dfrac{1}{32} \st \\ \hline \end{array}\]
Сумма всех вероятностей равна \(\frac{1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1}{32} = \frac{32}{32} = 1\). Построим диаграмму распределения:
Ответ: а) число орлов \(S\) принимает значения 0, 1, 2, 3, 4 с вероятностями \(\frac{1}{16}\), \(\frac{4}{16}\), \(\frac{6}{16}\), \(\frac{4}{16}\), \(\frac{1}{16}\); б) \(S\) принимает значения 0, 1, 2, 3, 4, 5 с вероятностями \(\frac{1}{32}\), \(\frac{5}{32}\), \(\frac{10}{32}\), \(\frac{10}{32}\), \(\frac{5}{32}\), \(\frac{1}{32}\).
Постройте таблицу и диаграмму распределения для случайной величины «число орлов», если монету бросают: а) четыре раза; б) пять раз.
Будем считать монету симметричной. Каждое бросание монеты — испытание Бернулли: успех — орёл, \(p = q = 0{,}5\). Монету бросают \(n\) раз — это серия из \(n\) испытаний Бернулли, поэтому число орлов \(S\) имеет биномиальное распределение: \({P(S = k)} = C_{n}^{k}p^{k}q^{n - k} = C_{n}^{k} \cdot 0{,}5^{n}\).
а) При \(n = 4\) получаем \({P(S = k)} = C_{4}^{k} \cdot 0{,}5^{4} = \frac{C_{4}^{k}}{16}\):
\[\begin{aligned} P(S = 0) &= \frac{C_{4}^{0}}{16} = \frac{1}{16}; \\ P(S = 1) &= \frac{C_{4}^{1}}{16} = \frac{4}{16}; \\ P(S = 2) &= \frac{C_{4}^{2}}{16} = \frac{6}{16}; \\ P(S = 3) &= \frac{C_{4}^{3}}{16} = \frac{4}{16}; \\ P(S = 4) &= \frac{C_{4}^{4}}{16} = \frac{1}{16}. \end{aligned}\]
Таблица распределения:
\[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \st \\ \hline P(S = k) & \dfrac{1}{16} & \dfrac{4}{16} & \dfrac{6}{16} & \dfrac{4}{16} & \dfrac{1}{16} \st \\ \hline \end{array}\]
Сумма всех вероятностей равна \(\frac{1 + 4 + 6 + 4 + 1}{16} = \frac{16}{16} = 1\). Построим диаграмму распределения:
б) При \(n = 5\) получаем \({P(S = k)} = C_{5}^{k} \cdot 0{,}5^{5} = \frac{C_{5}^{k}}{32}\):
\[\begin{aligned} P(S = 0) &= \frac{C_{5}^{0}}{32} = \frac{1}{32}; \\ P(S = 1) &= \frac{C_{5}^{1}}{32} = \frac{5}{32}; \\ P(S = 2) &= \frac{C_{5}^{2}}{32} = \frac{10}{32}; \\ P(S = 3) &= \frac{C_{5}^{3}}{32} = \frac{10}{32}; \\ P(S = 4) &= \frac{C_{5}^{4}}{32} = \frac{5}{32}; \\ P(S = 5) &= \frac{C_{5}^{5}}{32} = \frac{1}{32}. \end{aligned}\]
Таблица распределения:
\[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \st \\ \hline P(S = k) & \dfrac{1}{32} & \dfrac{5}{32} & \dfrac{10}{32} & \dfrac{10}{32} & \dfrac{5}{32} & \dfrac{1}{32} \st \\ \hline \end{array}\]
Сумма всех вероятностей равна \(\frac{1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1}{32} = \frac{32}{32} = 1\). Построим диаграмму распределения:
Ответ: а) число орлов \(S\) принимает значения 0, 1, 2, 3, 4 с вероятностями \(\frac{1}{16}\), \(\frac{4}{16}\), \(\frac{6}{16}\), \(\frac{4}{16}\), \(\frac{1}{16}\); б) \(S\) принимает значения 0, 1, 2, 3, 4, 5 с вероятностями \(\frac{1}{32}\), \(\frac{5}{32}\), \(\frac{10}{32}\), \(\frac{10}{32}\), \(\frac{5}{32}\), \(\frac{1}{32}\).
