Страница 112 номер 329, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Игральную кость бросают до тех пор, пока не выпадет шестёрка. Рассмотрим случайную величину \(T\) «число бросков».
а) Запишите функцию вероятности случайной величины \(T\).
б) Составьте таблицу распределения этой случайной величины.
Таблица 18
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Значения } T & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & k & \ldots \\ \hline \text{Вероятности} & & & & & & & \\ \hline \end{array}\]
Каждый бросок — испытание Бернулли: успех — выпадение шестёрки, \(p = \frac{1}{6}\), \(q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\). Кость бросают до первого успеха, поэтому число бросков \(T\) имеет геометрическое распределение: \({P(T = k)} = q^{k - 1}p\).
а) Функция вероятности величины \(T\):
\[P(T = k) = \left(\frac{5}{6}\right)^{k - 1} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5^{k - 1}}{6^{k}}, \text{ где } k = 1, 2, 3, \ldots\]
б) Вероятности первых значений:
\[\begin{aligned} P(T = 1) &= \frac{5^{0}}{6^{1}} = \frac{1}{6}; \\ P(T = 2) &= \frac{5^{1}}{6^{2}} = \frac{5}{36}; \\ P(T = 3) &= \frac{5^{2}}{6^{3}} = \frac{25}{216}; \\ P(T = 4) &= \frac{5^{3}}{6^{4}} = \frac{125}{1296}. \end{aligned}\] \[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Значения } T & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & k & \ldots \st \\ \hline \text{Вероятности} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{5}{36} & \dfrac{25}{216} & \dfrac{125}{1296} & \ldots & \dfrac{5^{k - 1}}{6^{k}} & \ldots \st \\ \hline \end{array}\]
Вероятности образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом \(\frac{1}{6}\) и знаменателем \(\frac{5}{6}\), их сумма равна \(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{1 - \frac{5}{6}} = \frac{1}{6} \cdot 6 = 1\).
Ответ: а) \({P(T = k)} = \frac{5^{k - 1}}{6^{k}}\), где \(k = 1, 2, 3, \ldots\); б) \(T\) принимает значения 1, 2, 3, 4, … с вероятностями \({P(T = k)} = \frac{5^{k - 1}}{6^{k}}\): \(\frac{1}{6}\), \(\frac{5}{36}\), \(\frac{25}{216}\), \(\frac{125}{1296}\), …
Игральную кость бросают до тех пор, пока не выпадет шестёрка. Рассмотрим случайную величину \(T\) «число бросков».
а) Запишите функцию вероятности случайной величины \(T\).
б) Составьте таблицу распределения этой случайной величины.
Таблица 18
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Значения } T & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & k & \ldots \\ \hline \text{Вероятности} & & & & & & & \\ \hline \end{array}\]
Каждый бросок — испытание Бернулли: успех — выпадение шестёрки, \(p = \frac{1}{6}\), неудача — любое другое число очков, \(q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\). Кость бросают до первого успеха, поэтому число бросков \(T\) имеет геометрическое распределение: \({P(T = k)} = q^{k - 1}p\).
а) Функция вероятности величины \(T\):
\[P(T = k) = \left(\frac{5}{6}\right)^{k - 1} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5^{k - 1}}{6^{k}}, \text{ где } k = 1, 2, 3, \ldots\]
б) По функции вероятности находим вероятности первых значений:
\[\begin{aligned} P(T = 1) &= \frac{5^{0}}{6^{1}} = \frac{1}{6}; \\ P(T = 2) &= \frac{5^{1}}{6^{2}} = \frac{5}{36}; \\ P(T = 3) &= \frac{5^{2}}{6^{3}} = \frac{25}{216}; \\ P(T = 4) &= \frac{5^{3}}{6^{4}} = \frac{125}{1296}. \end{aligned}\]
Запишем вероятности в таблицу:
\[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Значения } T & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & k & \ldots \st \\ \hline \text{Вероятности} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{5}{36} & \dfrac{25}{216} & \dfrac{125}{1296} & \ldots & \dfrac{5^{k - 1}}{6^{k}} & \ldots \st \\ \hline \end{array}\]
Вероятности образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом \(\frac{1}{6}\) и знаменателем \(\frac{5}{6}\), их сумма равна \(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{1 - \frac{5}{6}} = \frac{1}{6} \cdot 6 = 1\).
Ответ: а) \({P(T = k)} = \frac{5^{k - 1}}{6^{k}}\), где \(k = 1, 2, 3, \ldots\); б) \(T\) принимает значения 1, 2, 3, 4, … с вероятностями \({P(T = k)} = \frac{5^{k - 1}}{6^{k}}\): \(\frac{1}{6}\), \(\frac{5}{36}\), \(\frac{25}{216}\), \(\frac{125}{1296}\), …
