Страница 112 номер 334, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Проводится серия испытаний до достижения первого успеха. Вероятность успеха в каждом испытании равна \(p\). Известно, что уже случилось \(m\) неудач. Докажите, что вероятность того, что до достижения успеха потребуется ещё \(k\) попыток, такая же, как была вначале.
Пусть \(T\) — число испытаний до первого успеха (вместе с успешным), \(q = 1 - p\) — вероятность неудачи. Величина \(T\) имеет геометрическое распределение, поэтому вначале вероятность того, что для достижения успеха потребуется \(k\) попыток, равна \({P(T = k)} = q^{k - 1}p\).
Событие \(B = (T > m)\) — первые \(m\) испытаний закончились неудачей; испытания независимы, поэтому \(P(B) = q^{m}\), и эта вероятность больше нуля: неудачи случились, значит, \(q > 0\). Событие \(A = (T = m + k)\) — после \(m\) неудач потребовалось ещё \(k\) попыток, то есть первый успех наступил при \((m + k)\)-м испытании; \(P(A) = q^{m + k - 1}p\). Событию \(A\) благоприятствует одно элементарное событие — \(m + k - 1\) неудач подряд, затем успех. В нём первые \(m\) испытаний — неудачи, поэтому оно благоприятствует и событию \(B\). Значит, \(A \cap B = A\) и \({P(A \cap B)} = P(A) = q^{m + k - 1}p\).
По формуле условной вероятности
\[P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{q^{m + k - 1}p}{q^{m}} = q^{k - 1}p.\]
Это столько же, сколько вероятность \({P(T = k)}\) вначале.
Ответ: при условии, что уже случилось \(m\) неудач, вероятность того, что до успеха потребуется ещё \(k\) попыток, равна \(q^{k - 1}p = {P(T = k)}\), то есть такая же, как вначале.
