Страница 116 номер 343, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Постройте таблицу и диаграмму распределения вероятностей для случайной величины «число выпавших шестёрок», если игральную кость бросают: а) три раза; б) четыре раза.
Каждое бросание кости — испытание Бернулли: успех — шестёрка, \(p = \frac{1}{6}\), \(q = \frac{5}{6}\). Кость бросают \(n\) раз — это серия из \(n\) испытаний Бернулли, поэтому число выпавших шестёрок \(S\) имеет биномиальное распределение:
\[P(S = k) = C_{n}^{k} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{k} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{n - k} = \frac{C_{n}^{k} \cdot 5^{n - k}}{6^{n}}.\]
а) При \(n = 3\) знаменатель \(6^{3} = 216\):
\[\begin{aligned} P(S = 0) &= \frac{C_{3}^{0} \cdot 5^{3}}{216} = \frac{125}{216}; \\ P(S = 1) &= \frac{C_{3}^{1} \cdot 5^{2}}{216} = \frac{75}{216}; \\ P(S = 2) &= \frac{C_{3}^{2} \cdot 5}{216} = \frac{15}{216}; \\ P(S = 3) &= \frac{C_{3}^{3}}{216} = \frac{1}{216}. \end{aligned}\] \[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline k & 0 & 1 & 2 & 3 \st \\ \hline P(S = k) & \dfrac{125}{216} & \dfrac{75}{216} & \dfrac{15}{216} & \dfrac{1}{216} \st \\ \hline \end{array}\]
Сумма всех вероятностей равна \(\frac{125 + 75 + 15 + 1}{216} = \frac{216}{216} = 1\). Построим диаграмму распределения:
б) При \(n = 4\) знаменатель \(6^{4} = 1296\):
\[\begin{aligned} P(S = 0) &= \frac{C_{4}^{0} \cdot 5^{4}}{1296} = \frac{625}{1296}; \\ P(S = 1) &= \frac{C_{4}^{1} \cdot 5^{3}}{1296} = \frac{500}{1296}; \\ P(S = 2) &= \frac{C_{4}^{2} \cdot 5^{2}}{1296} = \frac{150}{1296}; \\ P(S = 3) &= \frac{C_{4}^{3} \cdot 5}{1296} = \frac{20}{1296}; \\ P(S = 4) &= \frac{C_{4}^{4}}{1296} = \frac{1}{1296}. \end{aligned}\] \[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \st \\ \hline P(S = k) & \dfrac{625}{1296} & \dfrac{500}{1296} & \dfrac{150}{1296} & \dfrac{20}{1296} & \dfrac{1}{1296} \st \\ \hline \end{array}\]
Сумма всех вероятностей равна \(\frac{625 + 500 + 150 + 20 + 1}{1296} = \frac{1296}{1296} = 1\). Построим диаграмму распределения; столбик над значением 4 почти не виден: его высота \(\frac{1}{1296} \approx 0{,}0008\).
Ответ: а) число шестёрок \(S\) принимает значения 0, 1, 2, 3 с вероятностями \(\frac{125}{216}\), \(\frac{75}{216}\), \(\frac{15}{216}\), \(\frac{1}{216}\); б) \(S\) принимает значения 0, 1, 2, 3, 4 с вероятностями \(\frac{625}{1296}\), \(\frac{500}{1296}\), \(\frac{150}{1296}\), \(\frac{20}{1296}\), \(\frac{1}{1296}\).
Постройте таблицу и диаграмму распределения вероятностей для случайной величины «число выпавших шестёрок», если игральную кость бросают: а) три раза; б) четыре раза.
Каждое бросание кости — испытание Бернулли: успех — шестёрка, \(p = \frac{1}{6}\), неудача — любое другое число очков, \(q = \frac{5}{6}\). Кость бросают \(n\) раз — это серия из \(n\) испытаний Бернулли, поэтому число выпавших шестёрок \(S\) имеет биномиальное распределение:
\[P(S = k) = C_{n}^{k} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{k} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{n - k} = \frac{C_{n}^{k} \cdot 5^{n - k}}{6^{n}}.\]
а) При \(n = 3\) знаменатель \(6^{3} = 216\):
\[\begin{aligned} P(S = 0) &= \frac{C_{3}^{0} \cdot 5^{3}}{216} = \frac{125}{216}; \\ P(S = 1) &= \frac{C_{3}^{1} \cdot 5^{2}}{216} = \frac{75}{216}; \\ P(S = 2) &= \frac{C_{3}^{2} \cdot 5}{216} = \frac{15}{216}; \\ P(S = 3) &= \frac{C_{3}^{3}}{216} = \frac{1}{216}. \end{aligned}\]
Таблица распределения:
\[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline k & 0 & 1 & 2 & 3 \st \\ \hline P(S = k) & \dfrac{125}{216} & \dfrac{75}{216} & \dfrac{15}{216} & \dfrac{1}{216} \st \\ \hline \end{array}\]
Сумма всех вероятностей равна \(\frac{125 + 75 + 15 + 1}{216} = \frac{216}{216} = 1\). Построим диаграмму распределения:
б) При \(n = 4\) знаменатель \(6^{4} = 1296\):
\[\begin{aligned} P(S = 0) &= \frac{C_{4}^{0} \cdot 5^{4}}{1296} = \frac{625}{1296}; \\ P(S = 1) &= \frac{C_{4}^{1} \cdot 5^{3}}{1296} = \frac{500}{1296}; \\ P(S = 2) &= \frac{C_{4}^{2} \cdot 5^{2}}{1296} = \frac{150}{1296}; \\ P(S = 3) &= \frac{C_{4}^{3} \cdot 5}{1296} = \frac{20}{1296}; \\ P(S = 4) &= \frac{C_{4}^{4}}{1296} = \frac{1}{1296}. \end{aligned}\]
Таблица распределения:
\[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \st \\ \hline P(S = k) & \dfrac{625}{1296} & \dfrac{500}{1296} & \dfrac{150}{1296} & \dfrac{20}{1296} & \dfrac{1}{1296} \st \\ \hline \end{array}\]
Сумма всех вероятностей равна \(\frac{625 + 500 + 150 + 20 + 1}{1296} = \frac{1296}{1296} = 1\). Построим диаграмму распределения; столбик над значением 4 почти не виден: его высота \(\frac{1}{1296} \approx 0{,}0008\).
Ответ: а) число шестёрок \(S\) принимает значения 0, 1, 2, 3 с вероятностями \(\frac{125}{216}\), \(\frac{75}{216}\), \(\frac{15}{216}\), \(\frac{1}{216}\); б) \(S\) принимает значения 0, 1, 2, 3, 4 с вероятностями \(\frac{625}{1296}\), \(\frac{500}{1296}\), \(\frac{150}{1296}\), \(\frac{20}{1296}\), \(\frac{1}{1296}\).
