Страница 116 номер 345, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень

Проводится серия из 6 испытаний Бернулли с \(p = q = 0{,}5\), поэтому число успехов \(S\) имеет биномиальное распределение: \({P(S = k)} = C_{6}^{k} \cdot 0{,}5^{k} \cdot 0{,}5^{6 - k} = \frac{C_{6}^{k}}{64}\), где \(k = 0, 1, \ldots, 6\):

\[\begin{aligned} P(S = 0) &= \frac{C_{6}^{0}}{64} = \frac{1}{64}; \\ P(S = 1) &= \frac{C_{6}^{1}}{64} = \frac{6}{64}; \\ P(S = 2) &= \frac{C_{6}^{2}}{64} = \frac{15}{64}; \\ P(S = 3) &= \frac{C_{6}^{3}}{64} = \frac{20}{64}; \\ P(S = 4) &= \frac{C_{6}^{4}}{64} = \frac{15}{64}; \\ P(S = 5) &= \frac{C_{6}^{5}}{64} = \frac{6}{64}; \\ P(S = 6) &= \frac{C_{6}^{6}}{64} = \frac{1}{64}. \end{aligned}\]

Сумма всех вероятностей равна \(\frac{1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1}{64} = \frac{64}{64} = 1\). Построим диаграмму распределения:

Распределение симметрично: числа сочетаний \(C_{6}^{k}\) и \(C_{6}^{6 - k}\) равны, поэтому \({P(S = k)} = {P(S = 6 - k)}\) — значения 0 и 6, 1 и 5, 2 и 4 имеют одинаковые вероятности, и диаграмма симметрична относительно значения 3. Так получается потому, что вероятности успеха и неудачи одинаковы: \(p = q = 0{,}5\).

Ответ: число успехов \(S\) принимает значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 с вероятностями \(\frac{1}{64}\), \(\frac{6}{64}\), \(\frac{15}{64}\), \(\frac{20}{64}\), \(\frac{15}{64}\), \(\frac{6}{64}\), \(\frac{1}{64}\); да, распределение симметрично относительно значения 3.