Вопросы после параграфа §89 на странице 116, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Высоцкого часть 2
Число успехов \(S\) в серии из \(n\) испытаний Бернулли принимает значения 0, 1, …, \(n\) с вероятностями \({P(S = k)} = C_{n}^{k}p^{k}q^{n - k}\) — слагаемыми в разложении \((p + q)^{n}\) по формуле бинома Ньютона, поэтому такое распределение называют биномиальным.
Ответ: биномиальное распределение.
Если \(p = q = 0{,}5\), то \({P(S = k)} = C_{n}^{k} \cdot 0{,}5^{k} \cdot 0{,}5^{n - k} = C_{n}^{k} \cdot 0{,}5^{n}\), а числа сочетаний \(C_{n}^{k}\) и \(C_{n}^{n - k}\) равны, поэтому \({P(S = k)} = {P(S = n - k)}\): значения \(k\) и \(n - k\), одинаково удалённые от \(\frac{n}{2}\), имеют одинаковые вероятности, и распределение симметрично. Если \(p \neq q\), симметрии нет: например, вероятности \({P(S = 0)} = q^{n}\) и \({P(S = n)} = p^{n}\) различны.
Ответ: при \(p = q = 0{,}5\).
Например: число забитых пенальти из 5, если футболист при каждом ударе забивает с вероятностью \(0{,}8\) независимо от других ударов (\(n = 5\), \(p = 0{,}8\)); число взошедших семян из 20 посеянных, если каждое семя всходит с вероятностью \(0{,}9\) независимо от других (\(n = 20\), \(p = 0{,}9\)); число звонков из 10, при которых линия оказалась свободной, если при каждом звонке она свободна с вероятностью \(0{,}2\) независимо от других звонков (\(n = 10\), \(p = 0{,}2\)). В каждом из этих опытов проводится серия одинаковых независимых испытаний с двумя исходами — успехом и неудачей, а величина равна числу успехов в серии.
Ответ: например, число забитых пенальти из 5, число взошедших семян из 20 посеянных и число звонков из 10, при которых линия оказалась свободной.
При \(n = 1\) проводится одно испытание Бернулли, и величина \(S\) принимает два значения, 0 и 1, с вероятностями \({P(S = 0)} = C_{1}^{0}p^{0}q^{1} = q\) и \({P(S = 1)} = C_{1}^{1}p^{1}q^{0} = p\). Это бинарная величина, а её распределение называют распределением Бернулли.
Ответ: распределение Бернулли.
Число успехов \(S\) в серии из \(n\) испытаний Бернулли принимает значения 0, 1, …, \(n\), и по формуле Бернулли \({P(S = k)} = C_{n}^{k}p^{k}q^{n - k}\). Такое распределение называют биномиальным: вероятности \(C_{n}^{k}p^{k}q^{n - k}\) — слагаемые в разложении \((p + q)^{n}\) по формуле бинома Ньютона.
Ответ: биномиальное распределение.
Если \(p = q = 0{,}5\), то \({P(S = k)} = C_{n}^{k} \cdot 0{,}5^{k} \cdot 0{,}5^{n - k} = C_{n}^{k} \cdot 0{,}5^{n}\), а числа сочетаний \(C_{n}^{k}\) и \(C_{n}^{n - k}\) равны, поэтому \({P(S = k)} = {P(S = n - k)}\): значения \(k\) и \(n - k\), одинаково удалённые от \(\frac{n}{2}\), имеют одинаковые вероятности, и распределение симметрично. Если \(p \neq q\), симметрии нет: например, вероятности \({P(S = 0)} = q^{n}\) и \({P(S = n)} = p^{n}\) различны.
Ответ: при \(p = q = 0{,}5\).
Например: число забитых пенальти из 5, если футболист при каждом ударе забивает с вероятностью \(0{,}8\) независимо от других ударов (\(n = 5\), \(p = 0{,}8\)); число взошедших семян из 20 посеянных, если каждое семя всходит с вероятностью \(0{,}9\) независимо от других (\(n = 20\), \(p = 0{,}9\)); число звонков из 10, при которых линия оказалась свободной, если при каждом звонке она свободна с вероятностью \(0{,}2\) независимо от других звонков (\(n = 10\), \(p = 0{,}2\)). В каждом из этих опытов проводится серия одинаковых независимых испытаний с двумя исходами — успехом и неудачей, а величина равна числу успехов в серии.
Ответ: например, число забитых пенальти из 5, число взошедших семян из 20 посеянных и число звонков из 10, при которых линия оказалась свободной.
При \(n = 1\) проводится одно испытание Бернулли, и величина \(S\) принимает два значения, 0 и 1, с вероятностями \({P(S = 0)} = C_{1}^{0}p^{0}q^{1} = q\) и \({P(S = 1)} = C_{1}^{1}p^{1}q^{0} = p\). Это бинарная величина, а её распределение называют распределением Бернулли.
Ответ: распределение Бернулли.
