Страница 112 номер 333, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень

Здесь \(p = 0{,}3\), \(q = 1 - p = 0{,}7\) и \({P(Y = k)} = 0{,}7^{k - 1} \cdot 0{,}3\).

а) Событие \((2 \leqslant Y \leqslant 4)\) — объединение несовместных событий \((Y = 2)\), \((Y = 3)\) и \((Y = 4)\), поэтому его вероятность равна сумме их вероятностей:

\[\begin{aligned} &P(2 \leqslant Y \leqslant 4) = 0{,}7 \cdot 0{,}3 + 0{,}7^{2} \cdot 0{,}3 + 0{,}7^{3} \cdot 0{,}3 = {} \\ &= 0{,}21 + 0{,}147 + 0{,}1029 = 0{,}4599. \end{aligned}\]

б) Пусть \(k \leqslant m\). Событие \((k \leqslant Y \leqslant m)\) — объединение несовместных событий \((Y = k)\), \((Y = k + 1)\), …, \((Y = m)\), поэтому его вероятность равна сумме \(q^{k - 1}p + q^{k}p + \ldots + q^{m - 1}p\). Это сумма \(m - k + 1\) членов геометрической прогрессии с первым членом \(q^{k - 1}p\) и знаменателем \(q\). По формуле суммы геометрической прогрессии, учитывая, что \(p = 1 - q\), получаем:

\[\begin{aligned} &P(k \leqslant Y \leqslant m) = q^{k - 1}(1 - q) \cdot \frac{1 - q^{m - k + 1}}{1 - q} = {} \\ &= q^{k - 1}\left(1 - q^{m - k + 1}\right) = q^{k - 1} - q^{m}. \end{aligned}\]

При \(q = 0{,}7\) это \(0{,}7^{k - 1} - 0{,}7^{m}\). Проверка: при \(k = 2\) и \(m = 4\) получаем \(0{,}7 - 0{,}7^{4} = 0{,}7 - 0{,}2401 = 0{,}4599\), как в пункте а).

Ответ: а) \({P(2 \leqslant Y \leqslant 4)} = 0{,}4599\); б) \({P(k \leqslant Y \leqslant m)} = 0{,}7^{k - 1} - 0{,}7^{m}\) (при \(k \leqslant m\)).