Страница 108 номер 322, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Опыт состоит в бросании двух игральных костей. Заполните таблицу распределения вероятностей и постройте соответствующие диаграммы для случайной величины: а) наибольшее из двух выпавших очков; б) наименьшее из двух выпавших очков. Указание. Наибольшее из данных чисел — это число, больше которого нет. Поэтому если числа равны, то считается, что каждое из них наибольшее. Например, если оба раза выпало три очка, то считается, что наибольшее выпавшее число очков — три. То же самое с наименьшим значением.
Элементарные события опыта — пары выпавших очков. Таких пар \(6 \cdot 6 = 36\), все они равновозможны, и вероятность каждой равна \(\frac{1}{36}\).
а) \(X\) — наибольшее из двух выпавших очков. Значения \(X\) в клетках таблицы элементарных событий (слева — очки на первой кости, сверху — на второй):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & \mathbf{1} & \mathbf{2} & \mathbf{3} & \mathbf{4} & \mathbf{5} & \mathbf{6} \\ \hline \mathbf{1} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \mathbf{2} & 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \mathbf{3} & 3 & 3 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \mathbf{4} & 4 & 4 & 4 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \mathbf{5} & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 & 6 \\ \hline \mathbf{6} & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 \\ \hline \end{array}\]
Значение 1 стоит в одной клетке, 2 — в трёх, 3 — в пяти, 4 — в семи, 5 — в девяти, 6 — в одиннадцати. Например, событию \((X = 4)\) благоприятствуют 7 элементарных событий, поэтому \({P(X = 4)} = 7 \cdot \frac{1}{36} = \frac{7}{36}\). Распределение \(X\) (дроби не сокращаем):
\[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Значение } X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \st \\ \hline \text{Вероятность} & \dfrac{1}{36} & \dfrac{3}{36} & \dfrac{5}{36} & \dfrac{7}{36} & \dfrac{9}{36} & \dfrac{11}{36} \st \\ \hline \end{array}\]
Построим диаграмму распределения: высота каждого столбика равна вероятности соответствующего значения \(X\).
б) \(Y\) — наименьшее из двух выпавших очков. Значения \(Y\) в клетках таблицы элементарных событий:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & \mathbf{1} & \mathbf{2} & \mathbf{3} & \mathbf{4} & \mathbf{5} & \mathbf{6} \\ \hline \mathbf{1} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \mathbf{2} & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ \hline \mathbf{3} & 1 & 2 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ \hline \mathbf{4} & 1 & 2 & 3 & 4 & 4 & 4 \\ \hline \mathbf{5} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 5 \\ \hline \mathbf{6} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \end{array}\]
Значение 1 стоит в одиннадцати клетках, 2 — в девяти, 3 — в семи, 4 — в пяти, 5 — в трёх, 6 — в одной. Распределение \(Y\) (дроби не сокращаем):
\[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Значение } Y & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \st \\ \hline \text{Вероятность} & \dfrac{11}{36} & \dfrac{9}{36} & \dfrac{7}{36} & \dfrac{5}{36} & \dfrac{3}{36} & \dfrac{1}{36} \st \\ \hline \end{array}\]
Построим диаграмму распределения \(Y\):
Ответ: а) наибольшее из двух очков принимает значения 1, 2, 3, 4, 5, 6 с вероятностями \(\frac{1}{36}\), \(\frac{3}{36}\), \(\frac{5}{36}\), \(\frac{7}{36}\), \(\frac{9}{36}\), \(\frac{11}{36}\); б) наименьшее из двух очков принимает значения 1, 2, 3, 4, 5, 6 с вероятностями \(\frac{11}{36}\), \(\frac{9}{36}\), \(\frac{7}{36}\), \(\frac{5}{36}\), \(\frac{3}{36}\), \(\frac{1}{36}\).
Опыт состоит в бросании двух игральных костей. Заполните таблицу распределения вероятностей и постройте соответствующие диаграммы для случайной величины: а) наибольшее из двух выпавших очков; б) наименьшее из двух выпавших очков. Указание. Наибольшее из данных чисел — это число, больше которого нет. Поэтому если числа равны, то считается, что каждое из них наибольшее. Например, если оба раза выпало три очка, то считается, что наибольшее выпавшее число очков — три. То же самое с наименьшим значением.
Элементарные события опыта — пары выпавших очков: например, \((3; 5)\) — 3 очка на первой кости и 5 на второй. Таких пар \(6 \cdot 6 = 36\), все они равновозможны, и вероятность каждой равна \(\frac{1}{36}\).
а) Обозначим наибольшее из двух выпавших очков буквой \(X\). Впишем значение \(X\) в каждую клетку таблицы элементарных событий (слева — очки на первой кости, сверху — на второй):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & \mathbf{1} & \mathbf{2} & \mathbf{3} & \mathbf{4} & \mathbf{5} & \mathbf{6} \\ \hline \mathbf{1} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \mathbf{2} & 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \mathbf{3} & 3 & 3 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \mathbf{4} & 4 & 4 & 4 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \mathbf{5} & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 & 6 \\ \hline \mathbf{6} & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 \\ \hline \end{array}\]
Значение 1 стоит в одной клетке, 2 — в трёх, 3 — в пяти, 4 — в семи, 5 — в девяти, 6 — в одиннадцати. Например, событию \((X = 4)\) благоприятствуют 7 элементарных событий, поэтому \({P(X = 4)} = 7 \cdot \frac{1}{36} = \frac{7}{36}\). Таким же способом найдём вероятности остальных значений и запишем распределение в таблицу, не сокращая дроби:
\[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Значение } X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \st \\ \hline \text{Вероятность} & \dfrac{1}{36} & \dfrac{3}{36} & \dfrac{5}{36} & \dfrac{7}{36} & \dfrac{9}{36} & \dfrac{11}{36} \st \\ \hline \end{array}\]
Проверка: сумма всех вероятностей \(\frac{1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11}{36} = \frac{36}{36} = 1\).
Построим диаграмму распределения: высота каждого столбика равна вероятности соответствующего значения \(X\).
б) Обозначим наименьшее из двух выпавших очков буквой \(Y\). Впишем значение \(Y\) в каждую клетку таблицы элементарных событий:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & \mathbf{1} & \mathbf{2} & \mathbf{3} & \mathbf{4} & \mathbf{5} & \mathbf{6} \\ \hline \mathbf{1} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \mathbf{2} & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ \hline \mathbf{3} & 1 & 2 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ \hline \mathbf{4} & 1 & 2 & 3 & 4 & 4 & 4 \\ \hline \mathbf{5} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 5 \\ \hline \mathbf{6} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \end{array}\]
Значение 1 стоит в одиннадцати клетках, 2 — в девяти, 3 — в семи, 4 — в пяти, 5 — в трёх, 6 — в одной. Распределение \(Y\) (дроби не сокращаем):
\[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Значение } Y & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \st \\ \hline \text{Вероятность} & \dfrac{11}{36} & \dfrac{9}{36} & \dfrac{7}{36} & \dfrac{5}{36} & \dfrac{3}{36} & \dfrac{1}{36} \st \\ \hline \end{array}\]
Построим диаграмму распределения \(Y\):
Ответ: а) наибольшее из двух очков принимает значения 1, 2, 3, 4, 5, 6 с вероятностями \(\frac{1}{36}\), \(\frac{3}{36}\), \(\frac{5}{36}\), \(\frac{7}{36}\), \(\frac{9}{36}\), \(\frac{11}{36}\); б) наименьшее из двух очков принимает значения 1, 2, 3, 4, 5, 6 с вероятностями \(\frac{11}{36}\), \(\frac{9}{36}\), \(\frac{7}{36}\), \(\frac{5}{36}\), \(\frac{3}{36}\), \(\frac{1}{36}\).
