Страница 86 номер 268, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Легенда гласит, что у одного островного племени есть обычай — во время ритуального танца шаман подбрасывает высоко вверх три тонких прямых прута одинаковой длины, связанных в подобие буквы П. Концы соседних прутьев связаны короткой ниткой, и поэтому прутья свободно вращаются. Прутья падают на песок, образуя случайную ломаную из трёх звеньев. Если получается самопересечение (первый и третий прутья перекрещиваются), то, согласно поверью, племя в наступающем году ждут неурожаи и всякие неприятности. Если же самопересечения нет, то год будет удачным — сытым и счастливым. Найдите вероятность того, что на следующий год прутья напророчат удачу.
Обозначим ломаную \(ABCD\): \(BC\) — средний прут, \(AB\) и \(CD\) — крайние; длина каждого прута равна 1. Пусть \(\varphi = \angle ABC\) и \(\psi = \angle BCD\) — углы крайних прутьев со средним; \(0^{\circ} \leqslant \varphi \leqslant 180^{\circ}\), \(0^{\circ} \leqslant \psi \leqslant 180^{\circ}\). Будем считать, что каждый крайний прут с равными шансами ложится по любую сторону от прямой \(BC\) и под любым углом к среднему пруту, независимо от другого крайнего прута.
Если крайние прутья лежат по разные стороны от прямой \(BC\), они не пересекаются. Из четырёх равновозможных расположений крайних прутьев относительно прямой \(BC\) в двух они лежат по одну сторону, поэтому вероятность события \(E\) «крайние прутья лежат по одну сторону от прямой \(BC\)» равна \(P(E) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).
Пусть событие \(E\) наступило. Если \(\varphi + \psi < 180^{\circ}\), то лучи \(BA\) и \(CD\) пересекаются в некоторой точке \(K\), и у треугольника \(BCK\) угол при вершине \(B\) равен \(\varphi\), при вершине \(C\) — \(\psi\), при вершине \(K\) — \(180^{\circ} - \varphi - \psi\). Прутья пересекаются, если точка \(K\) лежит на обоих прутьях, то есть \(BK \leqslant 1\) и \(CK \leqslant 1\). Так как \(BC = 1\), а в треугольнике против большего угла лежит большая сторона и против большей стороны — больший угол, то \(BK \leqslant BC\) тогда и только тогда, когда \(\psi \leqslant 180^{\circ} - \varphi - \psi\), то есть \(\varphi + 2\psi \leqslant 180^{\circ}\), а \(CK \leqslant BC\) тогда и только тогда, когда \(\varphi \leqslant 180^{\circ} - \varphi - \psi\), то есть \(2\varphi + \psi \leqslant 180^{\circ}\). При \(\varphi + \psi \geqslant 180^{\circ}\) лучи не пересекаются, но и эти два неравенства тогда не выполняются: сложив их, получим \(3\varphi + 3\psi \leqslant 360^{\circ}\), то есть \(\varphi + \psi \leqslant 120^{\circ}\).
Значит, при условии \(E\) точка \((\varphi; \psi)\) — случайная точка квадрата \(F\), который задаётся условиями \(0^{\circ} \leqslant \varphi \leqslant 180^{\circ}\) и \(0^{\circ} \leqslant \psi \leqslant 180^{\circ}\), \(S_{F} = 180^{2} = 32\,400\), а прутья пересекаются, если эта точка лежит в фигуре \(G\), где \(2\varphi + \psi \leqslant 180^{\circ}\) и \(\varphi + 2\psi \leqslant 180^{\circ}\). Прямые \(2\varphi + \psi = 180^{\circ}\) и \(\varphi + 2\psi = 180^{\circ}\) пересекаются в точке \((60^{\circ}; 60^{\circ})\), поэтому \(G\) — четырёхугольник с вершинами \((0^{\circ}; 0^{\circ})\), \((90^{\circ}; 0^{\circ})\), \((60^{\circ}; 60^{\circ})\), \((0^{\circ}; 90^{\circ})\):
Отрезок с концами \((0^{\circ}; 0^{\circ})\) и \((60^{\circ}; 60^{\circ})\) делит четырёхугольник \(G\) на два треугольника с основанием 90 и высотой 60, поэтому \(S_{G} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 90 \cdot 60 = 5400\).
\(\frac{S_{G}}{S_{F}} = \frac{5400}{32\,400} = \frac{1}{6}\) — условная вероятность того, что прутья пересекаются, при условии \(E\).
По правилу умножения вероятностей вероятность самопересечения равна \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}\). Удача — противоположное событие «самопересечения нет», его вероятность равна \(1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}\).
Ответ: \(\frac{11}{12}\).
Легенда гласит, что у одного островного племени есть обычай — во время ритуального танца шаман подбрасывает высоко вверх три тонких прямых прута одинаковой длины, связанных в подобие буквы П. Концы соседних прутьев связаны короткой ниткой, и поэтому прутья свободно вращаются. Прутья падают на песок, образуя случайную ломаную из трёх звеньев. Если получается самопересечение (первый и третий прутья перекрещиваются), то, согласно поверью, племя в наступающем году ждут неурожаи и всякие неприятности. Если же самопересечения нет, то год будет удачным — сытым и счастливым. Найдите вероятность того, что на следующий год прутья напророчат удачу.
Обозначим ломаную \(ABCD\): \(BC\) — средний прут, \(AB\) и \(CD\) — крайние; длина каждого прута равна 1. Пусть \(\varphi = \angle ABC\) и \(\psi = \angle BCD\) — углы крайних прутьев со средним; \(0^{\circ} \leqslant \varphi \leqslant 180^{\circ}\), \(0^{\circ} \leqslant \psi \leqslant 180^{\circ}\). Будем считать, что каждый крайний прут с равными шансами ложится по любую сторону от прямой \(BC\) и под любым углом к среднему пруту, независимо от другого крайнего прута.
Если крайние прутья лежат по разные стороны от прямой \(BC\), они не пересекаются. Каждый крайний прут с равными шансами ложится по одну или по другую сторону от прямой \(BC\), поэтому возможны четыре равновозможных расположения, и в двух из них крайние прутья лежат по одну сторону. Значит, вероятность события \(E\) «крайние прутья лежат по одну сторону от прямой \(BC\)» равна \(P(E) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).
Пусть событие \(E\) наступило. Если \(\varphi + \psi < 180^{\circ}\), то лучи \(BA\) и \(CD\) пересекаются в некоторой точке \(K\), и у треугольника \(BCK\) угол при вершине \(B\) равен \(\varphi\), при вершине \(C\) — \(\psi\), при вершине \(K\) — \(180^{\circ} - \varphi - \psi\). Прутья пересекаются, если точка \(K\) лежит на обоих прутьях, то есть \(BK \leqslant 1\) и \(CK \leqslant 1\). Так как \(BC = 1\), а в треугольнике против большего угла лежит большая сторона и против большей стороны — больший угол, то \(BK \leqslant BC\) тогда и только тогда, когда \(\psi \leqslant 180^{\circ} - \varphi - \psi\), то есть \(\varphi + 2\psi \leqslant 180^{\circ}\), а \(CK \leqslant BC\) тогда и только тогда, когда \(\varphi \leqslant 180^{\circ} - \varphi - \psi\), то есть \(2\varphi + \psi \leqslant 180^{\circ}\). При \(\varphi + \psi \geqslant 180^{\circ}\) лучи не пересекаются, но и эти два неравенства тогда не выполняются: сложив их, получим \(3\varphi + 3\psi \leqslant 360^{\circ}\), то есть \(\varphi + \psi \leqslant 120^{\circ}\).
Значит, при условии \(E\) точка \((\varphi; \psi)\) — случайная точка квадрата \(F\), который задаётся условиями \(0^{\circ} \leqslant \varphi \leqslant 180^{\circ}\) и \(0^{\circ} \leqslant \psi \leqslant 180^{\circ}\), \(S_{F} = 180^{2} = 32\,400\), а прутья пересекаются, если эта точка лежит в фигуре \(G\), где \(2\varphi + \psi \leqslant 180^{\circ}\) и \(\varphi + 2\psi \leqslant 180^{\circ}\). Прямые \(2\varphi + \psi = 180^{\circ}\) и \(\varphi + 2\psi = 180^{\circ}\) пересекаются в точке \((60^{\circ}; 60^{\circ})\), поэтому \(G\) — четырёхугольник с вершинами \((0^{\circ}; 0^{\circ})\), \((90^{\circ}; 0^{\circ})\), \((60^{\circ}; 60^{\circ})\), \((0^{\circ}; 90^{\circ})\):
Отрезок с концами \((0^{\circ}; 0^{\circ})\) и \((60^{\circ}; 60^{\circ})\) делит четырёхугольник \(G\) на два треугольника с основанием 90 и высотой 60, поэтому \(S_{G} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 90 \cdot 60 = 5400\). Условная вероятность того, что прутья пересекаются, при условии \(E\) равна \(\frac{S_{G}}{S_{F}} = \frac{5400}{32\,400} = \frac{1}{6}\).
По правилу умножения вероятностей вероятность самопересечения равна \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}\). Удача — противоположное событие «самопересечения нет», его вероятность равна \(1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}\).
Ответ: \(\frac{11}{12}\).
