Страница 90 номер 271, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Монету бросают до тех пор, пока не выпадет орёл. Постройте дерево эксперимента. Укажите в дереве событие \(A\) и найдите его вероятность, если событие \(A\) состоит в том, что: а) потребуется ровно два броска; б) три раза выпадет решка, на четвёртый раз — орёл; в) потребуется три или четыре броска, чтобы орёл появился в первый раз; г) первые четыре броска окончатся решкой.
Успех — выпадение орла (О), неудача — выпадение решки (Р); \(p = q = \frac{1}{2}\). Бросать монету, возможно, придётся сколь угодно долго, поэтому дерево эксперимента бесконечное. Из начальной вершины \(S\) и из каждой вершины Р выходят два ребра: вправо — к вершине Р, вниз — к конечной вершине О; у каждого ребра вероятность \(\frac{1}{2}\). В каждом пункте изобразим начальный фрагмент дерева и выделим в нём событие \(A\).
а) Событию \(A\) благоприятствует одно элементарное событие РО, в дереве — цепочка \(S\)РО: \(P(A) = P(S\text{РО}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\).
б) Событию \(A\) благоприятствует одно элементарное событие РРРО, в дереве — цепочка \(S\)РРРО: \(P(A) = P(S\text{РРРО}) = \left(\frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{1}{16}\).
в) Событию \(A\) благоприятствуют элементарные события РРО и РРРО, в дереве — цепочки \(S\)РРО и \(S\)РРРО: \(P(A) = P(S\text{РРО}) + P(S\text{РРРО}) = \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{3}{16}\).
г) Событие \(A\) наступит, если опыт дойдёт до вершины Р после четырёх решек подряд; в дереве оно изображается этой промежуточной вершиной. Все цепочки, проходящие через неё, продолжают цепочку \(S\)РРРР, поэтому \(P(A) = P(S\text{РРРР}) = \left(\frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{1}{16}\).
Ответ: а) \(\frac{1}{4}\); б) \(\frac{1}{16}\); в) \(\frac{3}{16}\); г) \(\frac{1}{16}\).
Монету бросают до тех пор, пока не выпадет орёл. Постройте дерево эксперимента. Укажите в дереве событие \(A\) и найдите его вероятность, если событие \(A\) состоит в том, что: а) потребуется ровно два броска; б) три раза выпадет решка, на четвёртый раз — орёл; в) потребуется три или четыре броска, чтобы орёл появился в первый раз; г) первые четыре броска окончатся решкой.
Успех — выпадение орла (О), неудача — выпадение решки (Р); \(p = q = \frac{1}{2}\). Бросать монету, возможно, придётся сколь угодно долго, поэтому дерево эксперимента бесконечное. Из начальной вершины \(S\) и из каждой вершины Р выходят два ребра: вправо — к вершине Р (выпала решка, броски продолжаются), вниз — к конечной вершине О (выпал орёл, опыт окончен); у каждого ребра вероятность \(\frac{1}{2}\). Вероятность элементарного события равна произведению вероятностей вдоль цепочки, которая его изображает, а вероятность события — сумме вероятностей всех цепочек, ведущих к нему. В каждом пункте изобразим начальный фрагмент дерева и выделим в нём событие \(A\).
а) Ровно два броска потребуется, если сначала выпадет решка, а затем орёл. Событию \(A\) благоприятствует одно элементарное событие РО, в дереве — цепочка \(S\)РО: \(P(A) = P(S\text{РО}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\).
б) Событию \(A\) благоприятствует одно элементарное событие РРРО, в дереве — цепочка \(S\)РРРО: \(P(A) = P(S\text{РРРО}) = \left(\frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{1}{16}\).
в) Три или четыре броска потребуется, если перед первым орлом выпадут две или три решки. Событию \(A\) благоприятствуют элементарные события РРО и РРРО, в дереве — цепочки \(S\)РРО и \(S\)РРРО. Сложим их вероятности: \(P(A) = P(S\text{РРО}) + P(S\text{РРРО}) = \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{3}{16}\).
г) Событие \(A\) наступит, если опыт дойдёт до вершины Р после четырёх решек подряд; в дереве оно изображается этой промежуточной вершиной. Все цепочки, проходящие через неё, продолжают цепочку \(S\)РРРР, поэтому \(P(A) = P(S\text{РРРР}) = \left(\frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{1}{16}\).
Ответ: а) \(\frac{1}{4}\); б) \(\frac{1}{16}\); в) \(\frac{3}{16}\); г) \(\frac{1}{16}\).
