Страница 86 номер 267, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Две грузовые машины независимо друг от друга должны подойти на погрузку между 17:00 и 19:00 на один и тот же склад. Погрузка первой машины длится 10 минут, второй — 20 минут. Какова вероятность того, что одному из водителей придётся ждать окончания погрузки машины, подъехавшей раньше?
Время — в минутах от 17:00: первая машина, погрузка которой длится 10 минут, подъезжает в момент \(x\), вторая, погрузка которой длится 20 минут, — в момент \(y\). Будем считать, что каждая машина может с равными шансами подъехать в любой момент от 17:00 до 19:00; по условию машины подъезжают независимо друг от друга. Тогда точка \((x; y)\) — случайная точка квадрата \(F\): \(0 \leqslant x \leqslant 120\), \(0 \leqslant y \leqslant 120\);
\(S_{F} = 120^{2} = 14\,400\).
Водителю второй машины придётся ждать, если она подъедет во время погрузки первой: \(x \leqslant y < x + 10\); водителю первой — если она подъедет во время погрузки второй: \(y \leqslant x < y + 20\). Вместе эти условия дают \(-20 < y - x < 10\), то есть \(x - 20 < y < x + 10\). Событие \(G\) «одному из водителей придётся ждать» — полоса квадрата между прямыми \(y = x - 20\) и \(y = x + 10\). Вне полосы остаются два прямоугольных треугольника: над прямой \(y = x + 10\) — с вершинами \((0; 10)\), \((0; 120)\), \((110; 120)\) и катетами 110, под прямой \(y = x - 20\) — с вершинами \((20; 0)\), \((120; 0)\), \((120; 100)\) и катетами 100:
\[\begin{aligned} &S_{G} = 14\,400 - \frac{1}{2} \cdot 110^{2} - \frac{1}{2} \cdot 100^{2} = {} \\ &= 14\,400 - 6050 - 5000 = 3350. \end{aligned}\] Следовательно, \(P(G) = \frac{S_{G}}{S_{F}} = \frac{3350}{14\,400} = \frac{67}{288} \approx 0{,}23\).
Ответ: \(\approx 0{,}23\).
Две грузовые машины независимо друг от друга должны подойти на погрузку между 17:00 и 19:00 на один и тот же склад. Погрузка первой машины длится 10 минут, второй — 20 минут. Какова вероятность того, что одному из водителей придётся ждать окончания погрузки машины, подъехавшей раньше?
Будем отсчитывать время в минутах от 17:00. Пусть первая машина, погрузка которой длится 10 минут, подъезжает в момент \(x\), а вторая, погрузка которой длится 20 минут, — в момент \(y\). Будем считать, что каждая машина может с равными шансами подъехать в любой момент от 17:00 до 19:00; по условию машины подъезжают независимо друг от друга. Тогда точка \((x; y)\) — случайная точка квадрата \(F\), который задаётся условиями \(0 \leqslant x \leqslant 120\) и \(0 \leqslant y \leqslant 120\);
\(S_{F} = 120^{2} = 14\,400\).
Водителю второй машины придётся ждать, если она подъедет во время погрузки первой: \(x \leqslant y < x + 10\). Водителю первой машины придётся ждать, если она подъедет во время погрузки второй: \(y \leqslant x < y + 20\). Вместе эти условия дают \(-20 < y - x < 10\), то есть \(x - 20 < y < x + 10\). Событие \(G\) «одному из водителей придётся ждать» — полоса квадрата между прямыми \(y = x - 20\) и \(y = x + 10\). Вне полосы остаются два прямоугольных треугольника: над прямой \(y = x + 10\) — с вершинами \((0; 10)\), \((0; 120)\), \((110; 120)\) и катетами 110, под прямой \(y = x - 20\) — с вершинами \((20; 0)\), \((120; 0)\), \((120; 100)\) и катетами 100:
Площадь полосы — площадь квадрата без площадей этих треугольников: \[\begin{aligned} &S_{G} = 14\,400 - \frac{1}{2} \cdot 110^{2} - \frac{1}{2} \cdot 100^{2} = {} \\ &= 14\,400 - 6050 - 5000 = 3350. \end{aligned}\] Следовательно, \(P(G) = \frac{S_{G}}{S_{F}} = \frac{3350}{14\,400} = \frac{67}{288} \approx 0{,}23\).
Ответ: \(\approx 0{,}23\).
