Страница 86 номер 264, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Двое крестьян приехали на ярмарку и хорошо продали свой товар. Накупили калачей да всякой всячины в хозяйство, и осталось у каждого не более рубля копейками. Пошли было крестьяне к выходу, как вдруг заметили кузнеца, который продаёт хороший топор. Очень понравился крестьянам тот топор, да вот беда — стоит он полтора рубля, а кузнец не уступает. Найдите вероятность того, что крестьяне смогут купить топор в складчину.
Пусть у первого крестьянина осталось \(x\) руб., а у второго — \(y\) руб. Будем считать, что остаток у каждого может с равными шансами быть любым от 0 до 1 рубля, независимо от остатка другого. Тогда точка \((x; y)\) — случайная точка квадрата \(F\): \(0 \leqslant x \leqslant 1\), \(0 \leqslant y \leqslant 1\);
\(S_{F} = 1\).
Крестьяне смогут купить топор в складчину, если \(x + y \geqslant 1{,}5\), то есть \(y \geqslant 1{,}5 - x\); обозначим это событие буквой \(G\). Фигура \(G\) — часть квадрата не ниже прямой \(y = 1{,}5 - x\), которая пересекает стороны квадрата в точках \((0{,}5; 1)\) и \((1; 0{,}5)\), то есть прямоугольный треугольник с вершинами \((0{,}5; 1)\), \((1; 1)\), \((1; 0{,}5)\) и катетами \(1 - 0{,}5 = 0{,}5\):
\(S_{G} = \frac{1}{2} \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}125\), поэтому \(P(G) = \frac{S_{G}}{S_{F}} = \frac{0{,}125}{1} = 0{,}125\).
Ответ: 0,125.
Двое крестьян приехали на ярмарку и хорошо продали свой товар. Накупили калачей да всякой всячины в хозяйство, и осталось у каждого не более рубля копейками. Пошли было крестьяне к выходу, как вдруг заметили кузнеца, который продаёт хороший топор. Очень понравился крестьянам тот топор, да вот беда — стоит он полтора рубля, а кузнец не уступает. Найдите вероятность того, что крестьяне смогут купить топор в складчину.
Пусть после покупок у первого крестьянина осталось \(x\) руб., а у второго — \(y\) руб. Будем считать, что остаток у каждого может с равными шансами быть любым от 0 до 1 рубля, независимо от остатка другого. Тогда точка \((x; y)\) — случайная точка квадрата \(F\), который задаётся условиями \(0 \leqslant x \leqslant 1\) и \(0 \leqslant y \leqslant 1\);
\(S_{F} = 1\).
Крестьяне смогут купить топор в складчину, если \(x + y \geqslant 1{,}5\). Обозначим это событие буквой \(G\). Неравенство \(x + y \geqslant 1{,}5\), то есть \(y \geqslant 1{,}5 - x\), задаёт часть квадрата не ниже прямой \(y = 1{,}5 - x\). Эта прямая пересекает стороны квадрата в точках \((0{,}5; 1)\) и \((1; 0{,}5)\), поэтому фигура \(G\) — прямоугольный треугольник с вершинами \((0{,}5; 1)\), \((1; 1)\), \((1; 0{,}5)\) и катетами \(1 - 0{,}5 = 0{,}5\):
Площадь треугольника \(S_{G} = \frac{1}{2} \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}125\), поэтому \(P(G) = \frac{S_{G}}{S_{F}} = \frac{0{,}125}{1} = 0{,}125\).
Ответ: 0,125.
