Страница 86 номер 266, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Два теплохода независимо друг от друга должны подойти к одному и тому же причалу. Каждый теплоход может подойти в любой момент времени в течение суток. Найти вероятность того, что одному из теплоходов придётся ожидать освобождения причала, если время стоянки одного теплохода составляет 2 часа, а другого 1 час.
Время — в часах от начала суток: первый теплоход, который стоит у причала 2 часа, подходит в момент \(x\), второй, который стоит 1 час, — в момент \(y\). Каждый теплоход может с равными шансами подойти в любой момент суток, независимо от другого, поэтому точка \((x; y)\) — случайная точка квадрата \(F\): \(0 \leqslant x \leqslant 24\), \(0 \leqslant y \leqslant 24\);
\(S_{F} = 24^{2} = 576\).
Второму теплоходу придётся ждать, если он подойдёт во время стоянки первого: \(x \leqslant y < x + 2\); первому — если он подойдёт во время стоянки второго: \(y \leqslant x < y + 1\). Вместе эти условия дают \(-1 < y - x < 2\), то есть \(x - 1 < y < x + 2\). Событие \(G\) «одному из теплоходов придётся ждать» — полоса квадрата между прямыми \(y = x - 1\) и \(y = x + 2\). Вне полосы остаются два прямоугольных треугольника: над прямой \(y = x + 2\) — с вершинами \((0; 2)\), \((0; 24)\), \((22; 24)\) и катетами 22, под прямой \(y = x - 1\) — с вершинами \((1; 0)\), \((24; 0)\), \((24; 23)\) и катетами 23:
\[\begin{aligned} &S_{G} = 576 - \frac{1}{2} \cdot 22^{2} - \frac{1}{2} \cdot 23^{2} = {} \\ &= 576 - 242 - 264{,}5 = 69{,}5. \end{aligned}\] Следовательно, \(P(G) = \frac{S_{G}}{S_{F}} = \frac{69{,}5}{576} = \frac{139}{1152} \approx 0{,}12\).
Ответ: \(\approx 0{,}12\).
Два теплохода независимо друг от друга должны подойти к одному и тому же причалу. Каждый теплоход может подойти в любой момент времени в течение суток. Найти вероятность того, что одному из теплоходов придётся ожидать освобождения причала, если время стоянки одного теплохода составляет 2 часа, а другого 1 час.
Будем отсчитывать время в часах от начала суток. Пусть первый теплоход, который стоит у причала 2 часа, подходит в момент \(x\), а второй, который стоит 1 час, — в момент \(y\). Каждый теплоход может с равными шансами подойти в любой момент суток, независимо от другого, поэтому точка \((x; y)\) — случайная точка квадрата \(F\), который задаётся условиями \(0 \leqslant x \leqslant 24\) и \(0 \leqslant y \leqslant 24\);
\(S_{F} = 24^{2} = 576\).
Второму теплоходу придётся ждать, если он подойдёт, пока у причала стоит первый: \(x \leqslant y < x + 2\). Первому придётся ждать, если он подойдёт, пока стоит второй: \(y \leqslant x < y + 1\). Вместе эти условия дают \(-1 < y - x < 2\), то есть \(x - 1 < y < x + 2\). Событие \(G\) «одному из теплоходов придётся ждать» — полоса квадрата между прямыми \(y = x - 1\) и \(y = x + 2\). Вне полосы остаются два прямоугольных треугольника: над прямой \(y = x + 2\) — с вершинами \((0; 2)\), \((0; 24)\), \((22; 24)\) и катетами 22, под прямой \(y = x - 1\) — с вершинами \((1; 0)\), \((24; 0)\), \((24; 23)\) и катетами 23:
Площадь полосы — площадь квадрата без площадей этих треугольников: \[\begin{aligned} &S_{G} = 576 - \frac{1}{2} \cdot 22^{2} - \frac{1}{2} \cdot 23^{2} = {} \\ &= 576 - 242 - 264{,}5 = 69{,}5. \end{aligned}\] Следовательно, \(P(G) = \frac{S_{G}}{S_{F}} = \frac{69{,}5}{576} = \frac{139}{1152} \approx 0{,}12\).
Ответ: \(\approx 0{,}12\).
