Страница 86 номер 265, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Хрупкий стержень ломают в двух случайных точках. Какова вероятность того, что из трёх получившихся частей можно сложить треугольник?
Примем длину стержня за 1 и будем задавать точку излома её расстоянием до левого конца стержня. Пусть точки излома — \(x\) и \(y\); \(0 \leqslant x \leqslant 1\), \(0 \leqslant y \leqslant 1\). Будем считать, что каждая точка излома может с равными шансами оказаться в любом месте стержня, независимо от другой. Тогда точка \((x; y)\) — случайная точка квадрата \(F\), который задаётся этими условиями; \(S_{F} = 1\).
Из трёх отрезков можно сложить треугольник тогда и только тогда, когда каждый из них меньше суммы двух других. Сумма длин трёх частей равна 1, поэтому часть длиной \(c\) меньше суммы двух других, если \(c < 1 - c\), то есть \(c < \frac{1}{2}\).
Если \(x < y\), то части равны \(x\), \(y - x\) и \(1 - y\), и условия \(x < \frac{1}{2}\), \(y - x < \frac{1}{2}\), \(1 - y < \frac{1}{2}\) дают \(x < \frac{1}{2}\), \(y > \frac{1}{2}\), \(y < x + \frac{1}{2}\) — прямоугольный треугольник с вершинами \(\left(0; \frac{1}{2}\right)\), \(\left(\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)\), \(\left(\frac{1}{2}; 1\right)\) и катетами \(\frac{1}{2}\). Если \(x > y\), то, поменяв местами \(x\) и \(y\), получим симметричный ему треугольник с вершинами \(\left(\frac{1}{2}; 0\right)\), \(\left(\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)\), \(\left(1; \frac{1}{2}\right)\). Случай \(x = y\) имеет вероятность 0. Фигура \(G\) события «из частей можно сложить треугольник» — эти два треугольника:
\(S_{G} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\), поэтому \(P(G) = \frac{S_{G}}{S_{F}} = \frac{1}{4} = 0{,}25\).
Ответ: 0,25.
Хрупкий стержень ломают в двух случайных точках. Какова вероятность того, что из трёх получившихся частей можно сложить треугольник?
Примем длину стержня за 1 и будем задавать точку излома её расстоянием до левого конца стержня. Пусть точки излома — \(x\) и \(y\); \(0 \leqslant x \leqslant 1\), \(0 \leqslant y \leqslant 1\). Будем считать, что каждая точка излома может с равными шансами оказаться в любом месте стержня, независимо от другой. Тогда точка \((x; y)\) — случайная точка квадрата \(F\), который задаётся этими условиями; \(S_{F} = 1\).
Из трёх отрезков можно сложить треугольник тогда и только тогда, когда каждый из них меньше суммы двух других. Сумма длин трёх частей равна 1, поэтому часть длиной \(c\) меньше суммы двух других, если \(c < 1 - c\), то есть \(c < \frac{1}{2}\): каждая часть должна быть меньше половины стержня.
Если \(x < y\), то части равны \(x\), \(y - x\) и \(1 - y\), и условия \(x < \frac{1}{2}\), \(y - x < \frac{1}{2}\), \(1 - y < \frac{1}{2}\) дают \(x < \frac{1}{2}\), \(y > \frac{1}{2}\), \(y < x + \frac{1}{2}\). Это прямоугольный треугольник с вершинами \(\left(0; \frac{1}{2}\right)\), \(\left(\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)\), \(\left(\frac{1}{2}; 1\right)\) и катетами \(\frac{1}{2}\). Если \(x > y\), то, поменяв местами \(x\) и \(y\), получим симметричный ему треугольник с вершинами \(\left(\frac{1}{2}; 0\right)\), \(\left(\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)\), \(\left(1; \frac{1}{2}\right)\). Случай \(x = y\) имеет вероятность 0. Фигура \(G\) события «из частей можно сложить треугольник» состоит из этих двух треугольников:
Площадь фигуры \(G\) — сумма площадей двух треугольников: \(S_{G} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\), поэтому \(P(G) = \frac{S_{G}}{S_{F}} = \frac{1}{4} = 0{,}25\).
Ответ: 0,25.
