Страница 86 номер 263, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
На окружности случайным образом независимо друг от друга выбирают две точки (рис. 87). Какова вероятность того, что хорда, соединяющая эти точки, длиннее, чем сторона равностороннего треугольника, вписанного в окружность?
Примем длину окружности за 1. Отметим на окружности точку \(M\) и будем задавать положение любой точки окружности длиной дуги, которую нужно пройти от точки \(M\) до этой точки против часовой стрелки; это число от 0 до 1. Пусть \(x\) и \(y\) — такие числа для двух выбранных точек. Точки выбираются случайным образом и независимо друг от друга, поэтому точка \((x; y)\) — случайная точка квадрата \(F\), который задаётся условиями \(0 \leqslant x < 1\) и \(0 \leqslant y < 1\);
\(S_{F} = 1\).
Две выбранные точки делят окружность на дуги длиной \(|x - y|\) и \(1 - |x - y|\). Сторона вписанного равностороннего треугольника стягивает дугу в треть окружности, а хорда тем длиннее, чем больше меньшая из двух дуг, на которые её концы делят окружность, поэтому хорда длиннее стороны треугольника тогда и только тогда, когда обе дуги длиннее \(\frac{1}{3}\): \(|x - y| > \frac{1}{3}\) и \(1 - |x - y| > \frac{1}{3}\), то есть \[\frac{1}{3} < |x - y| < \frac{2}{3}.\] Это двойное неравенство задаёт фигуру \(G\) из двух полос: \(\frac{1}{3} < y - x < \frac{2}{3}\) — между прямыми \(y = x + \frac{1}{3}\) и \(y = x + \frac{2}{3}\) — и \(\frac{1}{3} < x - y < \frac{2}{3}\) — между прямыми \(y = x - \frac{1}{3}\) и \(y = x - \frac{2}{3}\):
Верхняя полоса — прямоугольный треугольник над прямой \(y = x + \frac{1}{3}\) с катетами \(\frac{2}{3}\) без прямоугольного треугольника над прямой \(y = x + \frac{2}{3}\) с катетами \(\frac{1}{3}\); нижняя полоса симметрична верхней относительно прямой \(y = x\) и имеет такую же площадь: \[S_{G} = 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2} - \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{2}\right) = 2 \cdot \left(\frac{2}{9} - \frac{1}{18}\right) = \frac{1}{3}.\] Следовательно, \(P(G) = \frac{S_{G}}{S_{F}} = \frac{1}{3}\).
Ответ: \(\frac{1}{3}\).
На окружности случайным образом независимо друг от друга выбирают две точки (рис. 87). Какова вероятность того, что хорда, соединяющая эти точки, длиннее, чем сторона равностороннего треугольника, вписанного в окружность?
Примем длину окружности за 1. Отметим на окружности точку \(M\) и будем задавать положение любой точки окружности длиной дуги, которую нужно пройти от точки \(M\) до этой точки против часовой стрелки; это число от 0 до 1. Пусть \(x\) и \(y\) — такие числа для двух выбранных точек. Точки выбираются случайным образом и независимо друг от друга, поэтому точка \((x; y)\) — случайная точка квадрата \(F\), который задаётся условиями \(0 \leqslant x < 1\) и \(0 \leqslant y < 1\);
\(S_{F} = 1\).
Две выбранные точки делят окружность на дуги длиной \(|x - y|\) и \(1 - |x - y|\). Сторона вписанного равностороннего треугольника стягивает дугу в треть окружности, а хорда тем длиннее, чем больше меньшая из двух дуг, на которые её концы делят окружность. Поэтому хорда длиннее стороны треугольника тогда и только тогда, когда обе дуги длиннее \(\frac{1}{3}\). На рисунке так расположена зелёная хорда \(AB\): её конец \(B\) лежит на дуге \(CD\), не содержащей точку \(A\); красные хорды кончаются на дугах \(AC\) и \(AD\) и короче стороны треугольника. Условия \(|x - y| > \frac{1}{3}\) и \(1 - |x - y| > \frac{1}{3}\) вместе дают двойное неравенство \[\frac{1}{3} < |x - y| < \frac{2}{3}.\] Оно задаёт фигуру \(G\) из двух полос: \(\frac{1}{3} < y - x < \frac{2}{3}\) — между прямыми \(y = x + \frac{1}{3}\) и \(y = x + \frac{2}{3}\) — и \(\frac{1}{3} < x - y < \frac{2}{3}\) — между прямыми \(y = x - \frac{1}{3}\) и \(y = x - \frac{2}{3}\):
Верхняя полоса — прямоугольный треугольник над прямой \(y = x + \frac{1}{3}\) с катетами \(\frac{2}{3}\) без прямоугольного треугольника над прямой \(y = x + \frac{2}{3}\) с катетами \(\frac{1}{3}\); нижняя полоса симметрична верхней относительно прямой \(y = x\) и имеет такую же площадь. Поэтому \[S_{G} = 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2} - \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{2}\right) = 2 \cdot \left(\frac{2}{9} - \frac{1}{18}\right) = \frac{1}{3}.\] Следовательно, \(P(G) = \frac{S_{G}}{S_{F}} = \frac{1}{3}\).
Ответ: \(\frac{1}{3}\).
