Страница 40 номер 106, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Докажите, что для любых событий \(A\) и \(B\) верны неравенства \[P(A \cup B) \ge P(A) \text{ и } P(A \cup B) \ge P(B).\]
Каждое элементарное событие, благоприятствующее событию \(A\), благоприятствует и событию \(A \cup B\). Остальные элементарные события, благоприятствующие событию \(A \cup B\), благоприятствуют событию \(B\), но не событию \(A\).
Вероятность события равна сумме вероятностей элементарных событий, благоприятствующих этому событию, а вероятности элементарных событий неотрицательны. Поэтому \({P(A \cup B)}\) — это \(P(A)\) плюс неотрицательная сумма вероятностей элементарных событий, которые благоприятствуют событию \(B\), но не событию \(A\) (если таких элементарных событий нет, эта сумма равна нулю). Значит, \({P(A \cup B)} \geqslant P(A)\).
Второе неравенство доказывается так же: каждое элементарное событие, благоприятствующее событию \(B\), благоприятствует и событию \(A \cup B\), поэтому \({P(A \cup B)}\) — это \(P(B)\) плюс неотрицательная сумма вероятностей элементарных событий, которые благоприятствуют событию \(A\), но не событию \(B\), и \({P(A \cup B)} \geqslant P(B)\).
Ответ: для любых событий \(A\) и \(B\) верны неравенства \({P(A \cup B)} \geqslant P(A)\) и \({P(A \cup B)} \geqslant P(B)\).
Докажите, что для любых событий \(A\) и \(B\) верны неравенства \[P(A \cup B) \ge P(A) \text{ и } P(A \cup B) \ge P(B).\]
Каждое элементарное событие, благоприятствующее событию \(A\), благоприятствует и событию \(A \cup B\). Остальные элементарные события, благоприятствующие событию \(A \cup B\), благоприятствуют событию \(B\), но не событию \(A\).
Вероятность события равна сумме вероятностей элементарных событий, благоприятствующих этому событию, а вероятности элементарных событий неотрицательны. Поэтому \({P(A \cup B)}\) — это \(P(A)\) плюс неотрицательная сумма вероятностей элементарных событий, которые благоприятствуют событию \(B\), но не событию \(A\) (если таких элементарных событий нет, эта сумма равна нулю). Значит, \({P(A \cup B)} \geqslant P(A)\).
Второе неравенство доказывается так же. Каждое элементарное событие, благоприятствующее событию \(B\), благоприятствует и событию \(A \cup B\), а остальные элементарные события, благоприятствующие событию \(A \cup B\), благоприятствуют событию \(A\), но не событию \(B\). Поэтому \({P(A \cup B)}\) — это \(P(B)\) плюс неотрицательная сумма вероятностей этих элементарных событий, и \({P(A \cup B)} \geqslant P(B)\).
Ответ: для любых событий \(A\) и \(B\) верны неравенства \({P(A \cup B)} \geqslant P(A)\) и \({P(A \cup B)} \geqslant P(B)\).
