Страница 148-149 номер 394, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Проводится выборочный контроль качества продукции. Достаточно ли взять для контроля 1000 случайно выбранных образцов, чтобы событие «частота события «образец имеет дефект» отличается от вероятности этого события больше чем на 5 %» имело вероятность не больше чем 0,1? Указание. Пусть \(p\) — неизвестная вероятность события «случайно выбранный образец имеет дефект», а \(S\) — число дефектных образцов в контрольной партии из 1000 образцов. Тогда частота события «образец с дефектом» равна \(\frac{S}{1000}\), а дисперсия частоты не превосходит \(\frac{1}{4 \cdot 1000} = 0{,}00025\). Нужно составить неравенство Чебышёва для вероятности неравенства \(\left|\frac{S}{1000} - p\right| \ge 0{,}05\). Если эта вероятность окажется не больше чем 0,1, то 1000 образцов достаточно.
Пусть \(p\) — неизвестная вероятность дефекта у случайно выбранного образца, \(q = 1 - p\), \(S\) — число дефектных образцов среди 1000. Проверка — серия из \(n = 1000\) испытаний Бернулли, частота дефекта \(F = \frac{S}{1000}\), \(EF = p\), \(DF = \frac{pq}{1000} = \frac{p(1 - p)}{1000}\). При любом \(p\) верно \(p(1 - p) \leqslant \frac{1}{4}\), поэтому
\[DF \leqslant \frac{1}{4 \cdot 1000} = 0{,}00025.\]
Отличие частоты от вероятности больше чем на \(5\,\%\) — это \(|F - p| > 0{,}05\); тогда и \(|F - p| \geqslant 0{,}05\), поэтому вероятность этого события не больше \(P\left(\left|F - p\right| \geqslant 0{,}05\right)\). По неравенству Чебышёва при \(a = 0{,}05\)
\[\begin{aligned} &P\left(\left|F - p\right| \geqslant 0{,}05\right) \leqslant \frac{DF}{0{,}05^{2}} \leqslant {} \\ &\leqslant \frac{0{,}00025}{0{,}0025} = 0{,}1. \end{aligned}\]
Значит, частота отличается от вероятности дефекта больше чем на \(0{,}05\) с вероятностью не больше \(0{,}1\), и 1000 образцов для контроля достаточно.
Ответ: да, 1000 образцов достаточно.
Проводится выборочный контроль качества продукции. Достаточно ли взять для контроля 1000 случайно выбранных образцов, чтобы событие «частота события «образец имеет дефект» отличается от вероятности этого события больше чем на 5 %» имело вероятность не больше чем 0,1? Указание. Пусть \(p\) — неизвестная вероятность события «случайно выбранный образец имеет дефект», а \(S\) — число дефектных образцов в контрольной партии из 1000 образцов. Тогда частота события «образец с дефектом» равна \(\frac{S}{1000}\), а дисперсия частоты не превосходит \(\frac{1}{4 \cdot 1000} = 0{,}00025\). Нужно составить неравенство Чебышёва для вероятности неравенства \(\left|\frac{S}{1000} - p\right| \ge 0{,}05\). Если эта вероятность окажется не больше чем 0,1, то 1000 образцов достаточно.
Пусть \(p\) — неизвестная вероятность того, что случайно выбранный образец имеет дефект, \(q = 1 - p\), а \(S\) — число дефектных образцов среди 1000 проверенных. Проверка 1000 образцов — серия из \(n = 1000\) испытаний Бернулли, а частота дефекта равна \(F = \frac{S}{1000}\). Её математическое ожидание \(EF = p\), а дисперсия \(DF = \frac{pq}{1000} = \frac{p(1 - p)}{1000}\). При любой вероятности \(p\) выполняется неравенство \(p(1 - p) \leqslant \frac{1}{4}\), поэтому
\[DF \leqslant \frac{1}{4 \cdot 1000} = 0{,}00025.\]
Отличие частоты от вероятности больше чем на \(5\,\%\) означает, что \(|F - p| > 0{,}05\). Если \(|F - p| > 0{,}05\), то и \(|F - p| \geqslant 0{,}05\), поэтому вероятность этого события не больше \(P\left(\left|F - p\right| \geqslant 0{,}05\right)\). По неравенству Чебышёва при \(a = 0{,}05\)
\[\begin{aligned} &P\left(\left|F - p\right| \geqslant 0{,}05\right) \leqslant \frac{DF}{0{,}05^{2}} \leqslant {} \\ &\leqslant \frac{0{,}00025}{0{,}0025} = 0{,}1. \end{aligned}\]
Значит, вероятность того, что частота дефекта отличается от вероятности дефекта больше чем на \(0{,}05\), не больше \(0{,}1\), и 1000 образцов для контроля достаточно.
Ответ: да, 1000 образцов достаточно.
