Вопросы после параграфа §98 на странице 148, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Высоцкого часть 2

В обоих случаях частота орла равна \(0{,}3\) и отличается от вероятности орла \(0{,}5\) на \(0{,}2\). По теореме Бернулли чем больше бросаний, тем с большей вероятностью частота близка к вероятности. Поэтому такое большое отклонение частоты при 100 бросаниях гораздо менее вероятно, чем при 10, и 3 орла при 10 бросаниях вероятнее, чем 30 орлов при 100.

Ответ: более вероятно получить 3 орла при 10 бросаниях.

Пусть случайная величина \(X\) имеет математическое ожидание \(EX\) и дисперсию \(DX\). Тогда для любого положительного числа \(a\)

\[P\left(\left|X - EX\right| \geqslant a\right) \leqslant \frac{DX}{a^{2}}.\]

Иными словами, вероятность того, что величина \(X\) отклонится от своего математического ожидания на \(a\) или больше, не превосходит \(\frac{DX}{a^{2}}\).

Ответ: если случайная величина \(X\) имеет математическое ожидание \(EX\) и дисперсию \(DX\), то для любого \(a > 0\) верно \(P\left(\left|X - EX\right| \geqslant a\right) \leqslant \frac{DX}{a^{2}}\).

Неравенство Чебышёва даёт верхнюю оценку вероятности того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания на заданное число или больше, и для этой оценки достаточно знать только математическое ожидание и дисперсию, а не всё распределение. Из него видно, что чем меньше дисперсия, тем менее вероятны большие отклонения.

Эта оценка очень слабая. Например, для числа очков \(X\) при одном броске игральной кости \(EX = 3{,}5\) и \(DX = \frac{35}{12}\), и неравенство Чебышёва даёт \(P\left(\left|X - 3{,}5\right| \geqslant 2\right) \leqslant \frac{35}{12} : 4 = \frac{35}{48} \approx 0{,}73\). На самом деле \(\left|X - 3{,}5\right| \geqslant 2\) только при выпадении 1 или 6, и вероятность этого равна \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). Поэтому на практике таким методом не пользуются. Но неравенство Чебышёва важно для теории: из него выводятся теоремы Чебышёва и Бернулли, то есть закон больших чисел, и с его помощью можно заранее оценить, сколько опытов нужно, чтобы измерить вероятность с заданной точностью.

Ответ: неравенство Чебышёва оценивает сверху вероятность отклонения случайной величины от её математического ожидания, если известны только \(EX\) и \(DX\); оценка слабая, но из неравенства выводится закон больших чисел, и с его помощью можно заранее оценить нужное число опытов.

Пусть \(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\) — независимые случайные величины, имеющие одинаковое распределение с математическим ожиданием \(m\) и дисперсией \(d\), а \(\overline{X} = \frac{X_{1} + X_{2} + \ldots + X_{n}}{n}\) — их среднее арифметическое. Тогда чем больше \(n\), тем с большей вероятностью выполняется неравенство \(\left|\overline{X} - m\right| < a\), где \(a\) — выбранное заранее положительное число. Проще говоря, при большом \(n\) с большой вероятностью \(\overline{X} \approx m\), а погрешность не превосходит числа \(a\), которое можно взять сколь угодно малым.

Ответ: если \(X_{1}, \ldots, X_{n}\) — независимые одинаково распределённые случайные величины с математическим ожиданием \(m\) и дисперсией \(d\), то чем больше \(n\), тем с большей вероятностью их среднее арифметическое \(\overline{X}\) отличается от \(m\) меньше чем на заранее выбранное число \(a > 0\).

Пусть дана серия из \(n\) одинаковых и независимых испытаний с вероятностью успеха \(p\) в каждом испытании, а \(F\) — частота успеха в этой серии. Тогда чем больше \(n\), тем с большей вероятностью выполняется неравенство \(|F - p| < a\), где \(a\) — выбранное заранее положительное число. Иначе говоря, в большой серии испытаний частота успеха практически наверняка близка к его вероятности: \(F \approx p\). Это частный случай теоремы Чебышёва, а оценку вероятности даёт неравенство \(P\left(\left|F - p\right| < a\right) \geqslant 1 - \frac{pq}{na^{2}}\), где \(q = 1 - p\).

Ответ: чем больше число \(n\) одинаковых независимых испытаний, тем с большей вероятностью частота успеха \(F\) отличается от вероятности успеха \(p\) меньше чем на заранее выбранное число \(a > 0\).