Вопросы после параграфа §99 на странице 151, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Высоцкого часть 2

Глава 19. Закон больших чисел. §99. Применение закона больших чисел. Страница 151, вопросы после параграфа §99

1. Приведите примеры проявления закона больших чисел.

Например: при многократном бросании симметричной монеты частота орла становится близка к \(0{,}5\) — у Бюффона из \(4040\) бросаний орёл выпал \(2048\) раз, частота \(\frac{2048}{4040} \approx 0{,}507\); доля мальчиков среди новорождённых в большой стране из года в год держится около \(0{,}51\); по случайной выборке примерно из 2000 избирателей доля сторонников кандидата практически наверняка отличается от его доли среди всех избирателей не больше чем на \(0{,}03\); среднее арифметическое многих измерений одной величины правильно настроенным прибором близко к её истинному значению.

Ответ: например, частота орла при многократном бросании монеты близка к \(0{,}5\); доля в большой случайной выборке близка к доле во всей совокупности; среднее многих измерений близко к истинному значению величины.

2. Как оценивают математическое ожидание случайной величины?

Проводят много независимых измерений (наблюдений) случайной величины \(X\) и находят среднее выборочное \(\overline{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{n}}{n}\). По закону больших чисел при большом числе измерений оно, скорее всего, близко к математическому ожиданию: \(EX \approx \overline{x}\).

Ответ: средним выборочным: \(EX \approx \overline{x}\), где \(\overline{x}\) — среднее арифметическое результатов многих измерений этой величины.

3. Каким образом лучше всего составить выборку для социологического обследования?

Случайная выборка правильно представляет всю совокупность, и если она достаточно велика, то по закону больших чисел частота ответа в ней с большой вероятностью близка к доле таких ответов во всей совокупности. Обычно в выборку берут около 2000 человек.

Ответ: случайно, чтобы каждый человек из изучаемой совокупности мог попасть в выборку с равными шансами.

4. Нужно ли знать общую численность всех жителей России, чтобы с помощью выборочного метода установить, какая доля жителей предпочитает по утрам чай, а какая — кофе?

Нет. Доля жителей, которые предпочитают чай, — это вероятность \(p\) того, что случайно выбранный житель предпочитает чай; её оценивают частотой \(F\) в случайной выборке: \(p \approx F\). Численность выборки, которая обеспечивает нужную точность, не связана с численностью всей совокупности: при случайной выборке примерно из 2000 человек частота практически наверняка близка к \(p\), сколько бы ни было жителей в стране. Так же оценивают и долю тех, кто предпочитает кофе.

Ответ: нет, не нужно.

5. От чего зависит точность результата при социологическом обследовании?

Точность зависит от численности выборки: чем больше опрошенных, тем меньше дисперсия частоты \(DF = \frac{pq}{n}\) и тем ближе, скорее всего, частота к истинной доле. Она зависит и от того, как составлена выборка: точный результат даёт только случайная выборка, которая правильно представляет всю совокупность. От численности всей совокупности точность не зависит. Малая погрешность достигается не наверняка, а лишь с большой вероятностью: например, при \(n \geqslant 1850\) погрешность не больше \(0{,}03\) с вероятностью больше \(0{,}99\).

Ответ: от численности выборки и от того, составлена ли она случайно; от численности всей совокупности точность не зависит.

6. Можно ли сделать надёжный вывод о том, сколько девятиклассников в России будут сдавать ОГЭ по истории, если опросить 100 случайным образом выбранных девятиклассников? Если опросить 2000 девятиклассников из 20 школ одного города? Если опросить 2000 случайно выбранных девятиклассников по всей стране?

По 100 случайно выбранным девятиклассникам надёжного вывода сделать нельзя: выборка мала. Дисперсия частоты \(DF = \frac{pq}{100}\) может достигать \(\frac{1}{4 \cdot 100} = 0{,}0025\). Стандартное отклонение частоты может достигать \(\sqrt{0{,}0025} = 0{,}05\), поэтому частота в выборке может заметно отличаться от доли всех девятиклассников, которые будут сдавать историю.

По 2000 девятиклассникам из 20 школ одного города тоже нельзя: такая выборка не случайна по стране и представляет только этот город, а в разных городах и регионах доли выбирающих историю могут быть разными.

По 2000 случайно выбранным девятиклассникам по всей стране — можно: выборка случайна и достаточно велика, и при \(n \geqslant 1850\) с вероятностью больше \(0{,}99\) частота отличается от доли во всей стране не больше чем на \(0{,}03\). Умножив частоту на число всех девятиклассников в стране, получим, сколько примерно из них будут сдавать ОГЭ по истории.

Ответ: по 100 случайно выбранным девятиклассникам — нет; по 2000 девятиклассникам из 20 школ одного города — нет; по 2000 случайно выбранным девятиклассникам по всей стране — да.

7. Что такое повторные измерения? Как можно увеличить точность не очень точных измерений?

Повторные измерения — это несколько независимых измерений одной и той же величины \(m\), например одним и тем же прибором. Если прибор хотя и неточный, но правильно настроен (систематической ошибки нет), то результаты \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\) колеблются около истинного значения \(m\). Для большей точности делают много измерений, отбрасывают заведомо неверные результаты и находят среднее арифметическое остальных (или их медиану). По теореме Чебышёва при большом \(n\), скорее всего, с малой погрешностью \(\overline{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{n}}{n} \approx m\): дисперсия среднего арифметического равна \(\frac{d}{n}\), где \(d\) — дисперсия одного измерения, и уменьшается с ростом числа измерений.

Ответ: повторные измерения — многократные измерения одной и той же величины; точность увеличивают, проводя много измерений, отбрасывая заведомо неверные результаты и усредняя остальные.

1. Приведите примеры проявления закона больших чисел.

2. Как оценивают математическое ожидание случайной величины?

Проводят много независимых измерений (наблюдений) случайной величины \(X\) и находят среднее арифметическое полученных значений — среднее выборочное \(\overline{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{n}}{n}\). По закону больших чисел при большом числе измерений оно, скорее всего, близко к математическому ожиданию, поэтому его используют как приближённое значение математического ожидания: \(EX \approx \overline{x}\). Например, чтобы оценить средний диаметр горошин некоторого сорта, измеряют много горошин этого сорта и находят средний диаметр измеренных горошин.

3. Каким образом лучше всего составить выборку для социологического обследования?

Выборку лучше всего составлять случайно: так, чтобы каждый человек из изучаемой совокупности мог попасть в неё с равными шансами. Тогда выборка правильно представляет всю совокупность, и если она достаточно велика, то по закону больших чисел частота ответа в ней с большой вероятностью близка к доле таких ответов во всей совокупности. Обычно в выборку берут около 2000 человек.

Ответ: случайно, чтобы каждый человек из изучаемой совокупности мог попасть в выборку с равными шансами.

Нет. Доля жителей, которые предпочитают чай, — это вероятность \(p\) того, что случайно выбранный житель предпочитает чай, а её оценивают частотой \(F\) в случайной выборке: \(p \approx F\). Численность выборки, которая обеспечивает нужную точность, не связана с численностью всей совокупности: при случайной выборке примерно из 2000 человек частота практически наверняка будет близка к \(p\), сколько бы ни было жителей в стране. Так же оценивают и долю тех, кто предпочитает кофе.

Ответ: нет, не нужно.

5. От чего зависит точность результата при социологическом обследовании?

Точность зависит от численности выборки: чем больше опрошенных, тем меньше дисперсия частоты \(DF = \frac{pq}{n}\) и тем ближе, скорее всего, частота к истинной доле. Она зависит и от того, как составлена выборка: точный результат даёт только случайная выборка, которая правильно представляет всю совокупность. От численности всей совокупности точность не зависит. При этом малая погрешность достигается не наверняка, а лишь с большой вероятностью: например, при \(n \geqslant 1850\) погрешность не больше \(0{,}03\) с вероятностью больше \(0{,}99\).

По 100 случайно выбранным девятиклассникам надёжного вывода сделать нельзя: выборка мала. Дисперсия частоты \(DF = \frac{pq}{100}\) может достигать \(\frac{1}{4 \cdot 100} = 0{,}0025\), а стандартное отклонение частоты — \(\sqrt{0{,}0025} = 0{,}05\), поэтому частота в выборке может заметно отличаться от доли всех девятиклассников, которые будут сдавать историю.

7. Что такое повторные измерения? Как можно увеличить точность не очень точных измерений?

Повторные измерения — это несколько независимых измерений одной и той же величины \(m\), например одним и тем же прибором. Если прибор хотя и неточный, но правильно настроен (систематической ошибки нет), то результаты \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\) колеблются около истинного значения \(m\). Чтобы увеличить точность, нужно сделать много измерений, отбросить заведомо неверные результаты и найти среднее арифметическое остальных (или их медиану). По теореме Чебышёва при большом \(n\), скорее всего, с малой погрешностью \(\overline{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{n}}{n} \approx m\): дисперсия среднего арифметического равна \(\frac{d}{n}\), где \(d\) — дисперсия одного измерения, и уменьшается с ростом числа измерений.

Решение подготовила Екатерина Копова, учитель математики первой категории

Номер 394

смотреть все номера