Страница 148 номер 393, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Случайная величина \(X\) имеет математическое ожидание \(m\) и стандартное отклонение \(s\). С помощью неравенства Чебышёва оцените вероятность события: а) \(|X - m| > 2s\); б) \(m - 3s < X < m + 3s\); в) \(m - 4s < X < m + 4s\); г) \(X - m > ks\), где \(k\) — произвольное положительное число.
Будем считать, что \(s > 0\): если \(s = 0\), то величина \(X\) принимает только одно значение \(m\). Стандартное отклонение — арифметический квадратный корень из дисперсии, поэтому \(DX = s^{2}\), и неравенство Чебышёва для величины \(X\) при любом \(a > 0\) имеет вид
\[P\left(\left|X - m\right| \geqslant a\right) \leqslant \frac{s^{2}}{a^{2}}.\]
а) Если \(|X - m| > 2s\), то и \(|X - m| \geqslant 2s\), поэтому при \(a = 2s\)
\[\begin{aligned} &P\left(\left|X - m\right| > 2s\right) \leqslant P\left(\left|X - m\right| \geqslant 2s\right) \leqslant {} \\ &\leqslant \frac{s^{2}}{(2s)^{2}} = \frac{1}{4}. \end{aligned}\]
б) Неравенство \(m - 3s < X < m + 3s\) равносильно неравенству \(-3s < X - m < 3s\), то есть \(|X - m| < 3s\). Это событие противоположно событию \(|X - m| \geqslant 3s\), вероятность которого по неравенству Чебышёва при \(a = 3s\) не больше \(\frac{s^{2}}{(3s)^{2}} = \frac{1}{9}\), поэтому
\[\begin{aligned} &P(m - 3s < X < m + 3s) = 1 - P\left(\left|X - m\right| \geqslant 3s\right) \geqslant {} \\ &\geqslant 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}. \end{aligned}\]
в) Неравенство \(m - 4s < X < m + 4s\) равносильно неравенству \(|X - m| < 4s\), а вероятность противоположного события \(|X - m| \geqslant 4s\) при \(a = 4s\) не больше \(\frac{s^{2}}{(4s)^{2}} = \frac{1}{16}\), поэтому
\[\begin{aligned} &P(m - 4s < X < m + 4s) = 1 - P\left(\left|X - m\right| \geqslant 4s\right) \geqslant {} \\ &\geqslant 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}. \end{aligned}\]
г) Если \(X - m > ks\), то разность \(X - m\) положительна, поэтому \(|X - m| = X - m > ks\) и тем более \(|X - m| \geqslant ks\). Число \(ks\) положительно, и неравенство Чебышёва при \(a = ks\) даёт
\[\begin{aligned} &P(X - m > ks) \leqslant P\left(\left|X - m\right| \geqslant ks\right) \leqslant {} \\ &\leqslant \frac{s^{2}}{(ks)^{2}} = \frac{1}{k^{2}}. \end{aligned}\]
Ответ: а) не больше \(\frac{1}{4}\); б) не меньше \(\frac{8}{9}\); в) не меньше \(\frac{15}{16}\); г) не больше \(\frac{1}{k^{2}}\).
Случайная величина \(X\) имеет математическое ожидание \(m\) и стандартное отклонение \(s\). С помощью неравенства Чебышёва оцените вероятность события: а) \(|X - m| > 2s\); б) \(m - 3s < X < m + 3s\); в) \(m - 4s < X < m + 4s\); г) \(X - m > ks\), где \(k\) — произвольное положительное число.
Будем считать, что \(s > 0\): если \(s = 0\), то величина \(X\) принимает только одно значение \(m\). Стандартное отклонение — арифметический квадратный корень из дисперсии, поэтому \(DX = s^{2}\), и неравенство Чебышёва для величины \(X\) при любом \(a > 0\) имеет вид
\[P\left(\left|X - m\right| \geqslant a\right) \leqslant \frac{s^{2}}{a^{2}}.\]
а) Если \(|X - m| > 2s\), то и \(|X - m| \geqslant 2s\), поэтому вероятность первого события не больше вероятности второго. Неравенство Чебышёва при \(a = 2s\) даёт
\[\begin{aligned} &P\left(\left|X - m\right| > 2s\right) \leqslant P\left(\left|X - m\right| \geqslant 2s\right) \leqslant {} \\ &\leqslant \frac{s^{2}}{(2s)^{2}} = \frac{1}{4}. \end{aligned}\]
б) Двойное неравенство \(m - 3s < X < m + 3s\) равносильно неравенству \(-3s < X - m < 3s\), то есть \(|X - m| < 3s\). Это событие противоположно событию \(|X - m| \geqslant 3s\), вероятность которого по неравенству Чебышёва при \(a = 3s\) не больше \(\frac{s^{2}}{(3s)^{2}} = \frac{1}{9}\). Поэтому
\[\begin{aligned} &P(m - 3s < X < m + 3s) = 1 - P\left(\left|X - m\right| \geqslant 3s\right) \geqslant {} \\ &\geqslant 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}. \end{aligned}\]
в) Аналогично неравенство \(m - 4s < X < m + 4s\) равносильно неравенству \(|X - m| < 4s\), а вероятность противоположного события \(|X - m| \geqslant 4s\) при \(a = 4s\) не больше \(\frac{s^{2}}{(4s)^{2}} = \frac{1}{16}\). Поэтому
\[\begin{aligned} &P(m - 4s < X < m + 4s) = 1 - P\left(\left|X - m\right| \geqslant 4s\right) \geqslant {} \\ &\geqslant 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}. \end{aligned}\]
г) Если \(X - m > ks\), то разность \(X - m\) положительна, поэтому \(|X - m| = X - m > ks\) и тем более \(|X - m| \geqslant ks\). Значит, вероятность события \(X - m > ks\) не больше вероятности события \(|X - m| \geqslant ks\). Число \(ks\) положительно, и неравенство Чебышёва при \(a = ks\) даёт
\[\begin{aligned} &P(X - m > ks) \leqslant P\left(\left|X - m\right| \geqslant ks\right) \leqslant {} \\ &\leqslant \frac{s^{2}}{(ks)^{2}} = \frac{1}{k^{2}}. \end{aligned}\]
Ответ: а) не больше \(\frac{1}{4}\); б) не меньше \(\frac{8}{9}\); в) не меньше \(\frac{15}{16}\); г) не больше \(\frac{1}{k^{2}}\).
