Вопросы после параграфа §5 на странице 26, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Средним квадратичным числового набора \(x_1\), \(x_2\), …, \(x_n\) называется квадратный корень из среднего арифметического квадратов этих чисел: \[Q = \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2}{n}}.\]

Средним геометрическим набора положительных чисел \(x_1\), \(x_2\), …, \(x_n\) называется корень \(n\)-й степени из их произведения: \[G = \sqrt[n]{x_1 x_2 \ldots x_n}.\]

Средним гармоническим набора положительных чисел \(x_1\), \(x_2\), …, \(x_n\) называется величина, обратная среднему арифметическому обратных величин: \[H = \frac{n}{\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \ldots + \dfrac{1}{x_n}}.\]

Ответ: среднее квадратичное — квадратный корень из среднего арифметического квадратов чисел набора; среднее геометрическое — корень \(n\)-й степени из произведения \(n\) положительных чисел; среднее гармоническое — величина, обратная среднему арифметическому обратных величин.

Среднее квадратичное естественно там, где величины отличаются друг от друга и знаком, и размером, а важна их типичная величина. Пусть ошибки измерений прибора равны \(-3\); \(-1\); \(1\); \(3\) мм. Среднее арифметическое этих ошибок равно нулю и о точности прибора не говорит ничего, а среднее квадратичное (в миллиметрах) равно \[Q = \sqrt{\frac{(-3)^2 + (-1)^2 + 1^2 + 3^2}{4}} = \sqrt{5} \approx 2{,}24.\]

Знаки ошибок при возведении в квадрат пропадают, и получается типичная по величине ошибка прибора.

Среднее гармоническое естественно там, где усредняются скорости на равных участках пути. Пусть автомобиль проехал два одинаковых по длине участка: первый со скоростью 60 км/ч, второй — со скоростью 40 км/ч. Средняя скорость на всём пути равна среднему гармоническому этих скоростей: \[H = \frac{2}{\dfrac{1}{60} + \dfrac{1}{40}} = \frac{2}{\dfrac{5}{120}} = 48 \text{ (км/ч)}.\]

Среднее арифметическое дало бы 50 км/ч, но на медленном участке машина была в пути дольше, поэтому средняя скорость меньше.

Среднее геометрическое естественно для коэффициентов прироста. Пусть цена товара за три года сначала выросла вдвое, потом не менялась, потом уменьшилась вдвое, то есть коэффициенты прироста равны 2; 1; \(0{,}5\). Средний коэффициент прироста равен \(G = \sqrt[3]{2 \cdot 1 \cdot 0{,}5} = \sqrt[3]{1} = 1\), и это верно передаёт суть дела: цена вернулась к первоначальной. Среднее арифметическое коэффициентов дало бы \(\frac{2 + 1 + 0{,}5}{3} \approx 1{,}17\) и говорило бы о росте цены, которого нет.

Ответ: средним квадратичным усредняют ошибки измерений (и скорости хаотически движущихся частиц); средним гармоническим — скорости на равных участках пути; средним геометрическим — коэффициенты прироста цены.

Среднее геометрическое — это корень \(n\)-й степени из произведения чисел набора. Если среди чисел есть отрицательные, произведение может оказаться отрицательным, а корня чётной степени из отрицательного числа не существует: для набора \(-1\); 4 выражение \(\sqrt{(-1) \cdot 4}\) смысла не имеет. Но даже когда корень извлекается, результат перестаёт быть средним: у набора \(-2\); \(-8\) получилось бы \(\sqrt{16} = 4\) — число, которое больше каждого из усредняемых чисел.

В среднем гармоническом в знаменателе стоит сумма величин, обратных числам набора. У нуля обратной величины нет вовсе, а у чисел разных знаков сумма обратных величин может обратиться в нуль: для набора 2; \(-2\) она равна \(\frac{1}{2} + \frac{1}{-2} = 0\), и делить на неё нельзя.

Требование положительности снимает обе трудности сразу: произведение положительных чисел положительно, и корень из него извлекается при любой степени, а сумма обратных величин положительна, и деление на неё возможно.

Ответ: у отрицательных чисел произведение может быть отрицательным, и корень чётной степени из него не существует, а сумма обратных величин может обратиться в нуль (у нуля обратной величины нет вовсе); для положительных чисел обе формулы всегда имеют смысл.