Страница 21 номер 26, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
а) Массив из пяти чисел 10; 11; 12; 13; 14. Четверть от пяти равна \(1{,}25\), поэтому первый квартиль — второе число: \(K_1 = 11\); медиана — третье: \(m = 12\); три четверти от пяти равны \(3{,}75\), поэтому третий квартиль — четвёртое: \(K_3 = 13\). Все три условия выполнены, такой массив существует.
б) Первый квартиль и медиана совпадают только тогда, когда одно и то же число стоит и на месте первого квартиля, и на месте медианы, поэтому в массиве обязательно будут повторяющиеся значения. Массив 11; 11; 11; 13; 14: \(K_1 = 11\) (второе число), \(m = 11\) (третье), \(K_3 = 13\) (четвёртое). Такой массив существует.
в) Здесь первый квартиль больше медианы. Пусть в массиве \(n\) чисел: по определению первого квартиля хотя бы три четверти чисел не меньше \(K_1\), а по определению медианы хотя бы половина чисел не больше \(m\). Если бы оказалось \(K_1 > m\), то ни одно число не попало бы сразу в обе группы, потому что число, не меньшее \(K_1\), больше числа \(m\); тогда в массиве набралось бы не меньше \[\frac{3}{4}n + \frac{1}{2}n = \frac{5}{4}n\] чисел, а всего их только \(n\). Противоречие показывает, что в любом массиве \(K_1 \leqslant m\), значит, массива с \(K_1 = 12\) и \(m = 11\) не существует.
г) Здесь \(K_1 = 13\) больше медианы \(m = 12\) — по доказанному такого массива нет.
Нарушено и второе неравенство: \(K_3 = 11\) меньше медианы \(m = 12\). По определению третьего квартиля хотя бы три четверти чисел не больше \(K_3\), а по определению медианы хотя бы половина чисел не меньше \(m\); при \(m > K_3\) эти группы не пересекаются, и чисел набралось бы не меньше \(\frac{5}{4}n\). Значит, в любом массиве \(m \leqslant K_3\).
Ответ: а) да, такой массив существует, например, 10; 11; 12; 13; 14; б) да, такой массив существует, например, 11; 11; 11; 13; 14; в) нет, такого массива не существует, потому что первый квартиль не может быть больше медианы; г) нет, такого массива не существует по той же причине (а кроме того, третий квартиль не может быть меньше медианы).
а) Возьмём массив из пяти чисел: 10; 11; 12; 13; 14. Четверть от пяти равна \(1{,}25\), поэтому первый квартиль — второе число: \(K_1 = 11\). Медиана — третье число: \(m = 12\). Три четверти от пяти равны \(3{,}75\), поэтому третий квартиль — четвёртое число: \(K_3 = 13\). Все три условия выполнены, и такой массив существует.
б) Здесь первый квартиль и медиана должны совпасть. Совпасть они могут только тогда, когда одно и то же число стоит и на месте первого квартиля, и на месте медианы, поэтому в массиве обязательно будут повторяющиеся значения.
Возьмём массив 11; 11; 11; 13; 14. Первый квартиль — второе число: \(K_1 = 11\). Медиана — третье число: \(m = 11\). Третий квартиль — четвёртое число: \(K_3 = 13\). Такой массив существует.
в) Здесь \(K_1 = 12\), а \(m = 11\), то есть первый квартиль больше медианы. Покажем, что так быть не может.
Пусть в массиве \(n\) чисел. По определению первого квартиля хотя бы три четверти чисел массива не меньше \(K_1\). По определению медианы хотя бы половина чисел не больше \(m\). Если бы оказалось \(K_1 > m\), то ни одно число не попало бы сразу в обе эти группы: число, не меньшее \(K_1\), больше числа \(m\). Тогда в массиве набралось бы не меньше \[\frac{3}{4}n + \frac{1}{2}n = \frac{5}{4}n\] чисел, а всего их только \(n\). Полученное противоречие показывает, что в любом массиве \(K_1 \leqslant m\). Значит, массива с \(K_1 = 12\) и \(m = 11\) не существует.
г) Здесь \(K_1 = 13\), а \(m = 12\), и снова первый квартиль больше медианы — по доказанному такого массива нет.
Нарушено и второе неравенство: \(K_3 = 11\) меньше медианы \(m = 12\). Рассуждение то же самое. По определению третьего квартиля хотя бы три четверти чисел не больше \(K_3\), а по определению медианы хотя бы половина чисел не меньше \(m\); при \(m > K_3\) эти группы не пересекаются, и чисел в массиве набралось бы не меньше \(\frac{5}{4}n\). Значит, в любом массиве \(m \leqslant K_3\), и массива с такими квартилями и медианой не существует.
Ответ: а) да, такой массив существует, например, 10; 11; 12; 13; 14; б) да, такой массив существует, например, 11; 11; 11; 13; 14; в) нет, такого массива не существует, потому что первый квартиль не может быть больше медианы; г) нет, такого массива не существует по той же причине (а кроме того, третий квартиль не может быть меньше медианы).
