Страница 29 номер 44, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Масса товара \(m\), длины плеч \(l_1\) и \(l_2\) — положительные числа, и \(l_1 \neq l_2\). Весы уравновешены, когда произведение массы на длину плеча одинаково с обеих сторон.
Первое взвешивание: товар на плече \(l_1\), гири массой \(m_1\) — на плече \(l_2\), поэтому \(m l_1 = m_1 l_2\), откуда \(m_1 = m \cdot \frac{l_1}{l_2}\).
Второе взвешивание: товар на плече \(l_2\), гири массой \(m_2\) — на плече \(l_1\), поэтому \(m l_2 = m_2 l_1\), откуда \(m_2 = m \cdot \frac{l_2}{l_1}\).
Среднее арифметическое двух показаний равно \[\frac{m_1 + m_2}{2} = \frac{m}{2}\left(\frac{l_1}{l_2} + \frac{l_2}{l_1}\right).\]
Числа \(\frac{l_1}{l_2}\) и \(\frac{l_2}{l_1}\) положительны, а их произведение равно 1, поэтому их среднее геометрическое равно \(\sqrt{\frac{l_1}{l_2} \cdot \frac{l_2}{l_1}} = 1\), и их среднее арифметическое не меньше 1, причём равенство возможно, только если сами эти числа равны. Но равенство \(\frac{l_1}{l_2} = \frac{l_2}{l_1}\) означало бы \(l_1^2 = l_2^2\), то есть \(l_1 = l_2\) (длины положительны), а плечи различны, значит, неравенство строгое: \[\frac{1}{2}\left(\frac{l_1}{l_2} + \frac{l_2}{l_1}\right) > 1.\]
Умножив на \(m > 0\), получаем \(\frac{m_1 + m_2}{2} > m\): продавец получает массу больше истинной.
По этим же двум показаниям истинную массу найти можно: \(m_1 m_2 = m \cdot \frac{l_1}{l_2} \cdot m \cdot \frac{l_2}{l_1} = m^2\), поэтому \(m = \sqrt{m_1 m_2}\).
Ответ: нет, масса получается неверной: среднее арифметическое двух взвешиваний больше истинной массы товара; истинная масса равна среднему геометрическому этих двух показаний.
Обозначим массу товара \(m\), а длины плеч весов — \(l_1\) и \(l_2\); это положительные числа, и по условию \(l_1 \neq l_2\). Чашечные весы уравновешены, когда произведение массы на длину плеча одинаково с обеих сторон.
При первом взвешивании товар лежит на чаше с плечом \(l_1\), а гири массой \(m_1\) — на чаше с плечом \(l_2\), поэтому \(m l_1 = m_1 l_2\), откуда \(m_1 = m \cdot \frac{l_1}{l_2}\).
При втором взвешивании товар лежит на чаше с плечом \(l_2\), а гири массой \(m_2\) — на чаше с плечом \(l_1\), поэтому \(m l_2 = m_2 l_1\), откуда \(m_2 = m \cdot \frac{l_2}{l_1}\).
Продавец берёт среднее арифметическое двух показаний: \[\frac{m_1 + m_2}{2} = \frac{m}{2}\left(\frac{l_1}{l_2} + \frac{l_2}{l_1}\right).\]
Числа \(\frac{l_1}{l_2}\) и \(\frac{l_2}{l_1}\) положительны, а их произведение равно 1, поэтому среднее геометрическое этих двух чисел равно \(\sqrt{\frac{l_1}{l_2} \cdot \frac{l_2}{l_1}} = 1\). По неравенству о средних среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше их среднего геометрического, причём равенство наступает, только если числа равны. Равенство \(\frac{l_1}{l_2} = \frac{l_2}{l_1}\) означало бы \(l_1^2 = l_2^2\), то есть \(l_1 = l_2\) (длины положительны), а плечи различны. Значит, неравенство строгое: \[\frac{1}{2}\left(\frac{l_1}{l_2} + \frac{l_2}{l_1}\right) > 1.\]
Умножив на \(m > 0\), получаем \(\frac{m_1 + m_2}{2} > m\): продавец получает массу больше истинной.
По этим же двум показаниям истинную массу найти можно: \(m_1 m_2 = m \cdot \frac{l_1}{l_2} \cdot m \cdot \frac{l_2}{l_1} = m^2\), поэтому \(m = \sqrt{m_1 m_2}\) — истинная масса товара равна среднему геометрическому двух взвешиваний, а не их среднему арифметическому.
Ответ: нет, масса получается неверной: среднее арифметическое двух взвешиваний больше истинной массы товара; истинная масса равна среднему геометрическому этих двух показаний.
