Страница 15 номер 12, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
среднее число однокурсниц у студентов курса \(22{,}425\)

Найти: сколько на курсе девушек.

Решение:

Пусть на курсе \(n\) студентов и среди них \(d\) девушек.

Однокурсницы студента — это девушки его курса, кроме него самого. Поэтому у каждой девушки \(d - 1\) однокурсница, а у каждого юноши \(d\) однокурсниц.

Усредняется массив \(x\) из \(n\) чисел — по одному на каждого студента: \(d\) чисел, равных \(d - 1\), и \(n - d\) чисел, равных \(d\). Значит,

\[\bar{x} = \frac{d(d - 1) + (n - d)d}{n} = \frac{d(n - 1)}{n}.\]

По условию \(\frac{d(n - 1)}{n} = 22{,}425\). Преобразуем левую часть: \(\frac{d(n - 1)}{n} = \frac{dn - d}{n} = d - \frac{d}{n}\). Получаем \(d - \frac{d}{n} = 22{,}425\), откуда \(\frac{d}{n} = d - 22{,}425\).

На курсе есть хотя бы одна девушка, и девушек не больше, чем всего студентов, поэтому \(0 < \frac{d}{n} \leqslant 1\), то есть \(0 < d - 22{,}425 \leqslant 1\) и \(22{,}425 < d \leqslant 23{,}425\). Целое число \(d\) в этих границах единственное: \(d = 23\).

Тогда \(\frac{d}{n} = 23 - 22{,}425 = 0{,}575\), откуда \(n = \frac{23}{0{,}575} = 40\).

Проверка: на курсе 40 студентов, из них 23 девушки и 17 юношей; у каждой девушки 22 однокурсницы, у каждого юноши 23 однокурсницы, и среднее число однокурсниц равно

\[\frac{23 \cdot 22 + 17 \cdot 23}{40} = \frac{506 + 391}{40} = \frac{897}{40} = 22{,}425.\]

Ответ: 23 девушки.