Страница 28 номер 41, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Глава I. Представление данных и описательная статистика. §6. Степенные средние и неравенство о средних. Страница 28. Номер 41

Решение:

а) Мощность при силе тока \(I_j\) равна \(RI_j^2\), поэтому среднее арифметическое пяти значений мощности равно \[\frac{RI_1^2 + RI_2^2 + \ldots + RI_5^2}{5} = R \cdot \frac{I_1^2 + I_2^2 + \ldots + I_5^2}{5} = R \cdot Q^2,\] где \(Q\) — среднее квадратичное измеренных значений силы тока. Инженер же вычислил \(R \cdot \bar{I}^2\) со средним арифметическим \(\bar{I}\).

Сила тока положительна, поэтому \(\bar{I} \leqslant Q\), причём равенство наступает, только если все пять измерений одинаковы. Обе величины положительны, значит, \(\bar{I}^2 \leqslant Q^2\), а после умножения на \(R > 0\) получаем \(R \cdot \bar{I}^2 \leqslant R \cdot Q^2\): при неодинаковых измерениях инженер получил не среднюю мощность, а меньшее число.

б) Среднюю мощность надо считать по среднему квадратичному силы тока: \[W_{\text{ср}} = R \cdot Q^2 = R \cdot \frac{I_1^2 + I_2^2 + \ldots + I_5^2}{5}.\]

Ответ: а) нет, среднего арифметического значения мощности инженер не нашёл: при неодинаковых измерениях величина \(R \cdot \bar{I}^2\) меньше средней мощности; б) \(W_{\text{ср}} = R \cdot \frac{I_1^2 + I_2^2 + \ldots + I_5^2}{5}\), то есть в формулу \(W = RI^2\) надо подставлять среднее квадратичное силы тока.

Решение:

а) Мощность, потребляемая прибором при силе тока \(I_j\), равна \(RI_j^2\). Поэтому среднее арифметическое пяти значений мощности равно \[\frac{RI_1^2 + RI_2^2 + \ldots + RI_5^2}{5} = R \cdot \frac{I_1^2 + I_2^2 + \ldots + I_5^2}{5} = R \cdot Q^2,\] где \(Q\) — среднее квадратичное измеренных значений силы тока. Инженер же вычислил \(R \cdot \bar{I}^2\), где \(\bar{I}\) — среднее арифметическое силы тока.

Сила тока положительна, поэтому к её измерениям применимо неравенство о средних: \(\bar{I} \leqslant Q\), причём равенство наступает, только если все пять измерений одинаковы. Обе величины положительны, значит, \(\bar{I}^2 \leqslant Q^2\), а после умножения на \(R > 0\) получаем \(R \cdot \bar{I}^2 \leqslant R \cdot Q^2\). Следовательно, при неодинаковых измерениях инженер получил не среднюю мощность, а меньшее число.