Страница 37 номер 54, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Глава I. Представление данных и описательная статистика. §8. Свойства среднего арифметического и дисперсии. Страница 37. Номер 54

Решение:

Плотность населения шестнадцати стран Южной Европы (чел./км\(^2\)) в порядке возрастания: \[46;\ 76;\ 79;\ 83;\ 86;\ 95;\ 98;\ 103;\ 105;\ 117;\ 167;\ 205;\ 350;\ 1315;\ 1818;\ 16\,500.\]

Числа большие, поэтому дисперсию ищем как средний квадрат без квадрата среднего. Сумма всех шестнадцати чисел равна \(21\,243\), а сумма их квадратов равна \(277\,559\,133\), поэтому \[\begin{aligned} &\bar{x} = \frac{21\,243}{16} = 1327{,}6875, \\ &\overline{x^2} = \frac{277\,559\,133}{16} = 17\,347\,445{,}8125. \end{aligned}\]

Дисперсия всего набора равна \[S_x^2 = \overline{x^2} - \bar{x}^2 = 17\,347\,445{,}8125 - 1327{,}6875^2 \approx 15\,584\,692.\]

Стандартное отклонение равно \(S_x \approx 3948\) чел./км\(^2\) — больше плотности населения тринадцати стран из шестнадцати. В электронной таблице такие вычисления выполняет функция `ДИСП.Г()`.

У тринадцати стран плотность населения не превосходит 350 чел./км\(^2\), а у Мальты, Ватикана и Монако она равна \(1315\), \(1818\) и \(16\,500\) чел./км\(^2\). В дисперсию отклонения входят в квадрате, поэтому эти три значения вносят в неё почти весь вклад, и после удаления выбросов дисперсия должна сильно уменьшиться.

Остаётся 13 значений; их сумма равна 1610, а сумма квадратов равна \(274\,784\), поэтому \[\begin{aligned} &\bar{x} = \frac{1610}{13} \approx 123{,}85, \\ &\overline{x^2} = \frac{274\,784}{13} \approx 21\,137{,}23. \end{aligned}\]

Дисперсия оставшихся данных равна \[S_x^2 = \frac{274\,784}{13} - \left(\frac{1610}{13}\right)^2 \approx 5799.\]

Стандартное отклонение оставшихся данных равно примерно 76 чел./км\(^2\). Дисперсия уменьшилась почти в 2700 раз, значит, предположение оказалось верным.

Ответ: дисперсия плотности населения стран Южной Европы приближённо равна \(15\,584\,692\); после удаления данных о Мальте, Ватикане и Монако дисперсия приближённо равна \(5799\). Предположение о том, что после удаления выбросов дисперсия уменьшится, подтвердилось.

Решение:

Плотность населения шестнадцати стран Южной Европы (чел./км\(^2\)), выписанная в порядке возрастания: \[46;\ 76;\ 79;\ 83;\ 86;\ 95;\ 98;\ 103;\ 105;\ 117;\ 167;\ 205;\ 350;\ 1315;\ 1818;\ 16\,500.\]

Числа большие, поэтому дисперсию ищем по короткой формуле — как средний квадрат без квадрата среднего. Сумма всех шестнадцати чисел равна \(21\,243\), а сумма их квадратов равна \(277\,559\,133\), поэтому \[\begin{aligned} &\bar{x} = \frac{21\,243}{16} = 1327{,}6875, \\ &\overline{x^2} = \frac{277\,559\,133}{16} = 17\,347\,445{,}8125. \end{aligned}\]

Дисперсия всего набора равна \[S_x^2 = \overline{x^2} - \bar{x}^2 = 17\,347\,445{,}8125 - 1327{,}6875^2 \approx 15\,584\,692.\]

Стандартное отклонение при этом равно \(S_x \approx 3948\) чел./км\(^2\) — оно больше плотности населения тринадцати стран из шестнадцати. Такие вычисления удобно выполнять в электронной таблице функцией `ДИСП.Г()`.

Мальта, Ватикан и Монако резко выделяются среди остальных данных: у тринадцати стран плотность населения не превосходит 350 чел./км\(^2\), а у этих трёх государств она равна \(1315\), \(1818\) и \(16\,500\) чел./км\(^2\). В дисперсию отклонения входят в квадрате, поэтому именно эти три значения вносят в неё почти весь вклад. Значит, после удаления выбросов рассеивание оставшихся данных окажется намного меньше и дисперсия должна сильно уменьшиться.

Проверим это предположение. После удаления трёх выбросов остаётся 13 значений; их сумма равна 1610, а сумма квадратов равна \(274\,784\), поэтому \[\begin{aligned} &\bar{x} = \frac{1610}{13} \approx 123{,}85, \\ &\overline{x^2} = \frac{274\,784}{13} \approx 21\,137{,}23. \end{aligned}\]

Дисперсия оставшихся данных равна \[S_x^2 = \frac{274\,784}{13} - \left(\frac{1610}{13}\right)^2 \approx 5799.\]