Страница 36 номер 51, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
У набора \(x\) крайняя левая точка стоит ровно в 0, а крайняя правая — ровно в 1, поэтому при \(x = 0\) получается \(y = b\), а при \(x = 1\) получается \(y = a + b\). Там, где порядок точек обратный — наибольшему числу набора \(x\) отвечает наименьшее число набора \(y\), — множитель \(a\) отрицателен.
Среднее и дисперсия набора \(y\) равны \(\bar{y} = a\bar{x} + b\) и \(S_y^2 = a^2 S_x^2\).
а) Порядок точек прямой: числу 0 отвечает 3, числу 1 отвечает 4, значит, \(b = 3\) и \(a + 3 = 4\), откуда \(a = 1\).
\(\bar{y} = 1 \cdot 0{,}42 + 3 = 3{,}42\).
\(S_y^2 = 1^2 \cdot 0{,}11 = 0{,}11\).
б) Порядок точек обратный: числу 0 отвечает 3, а числу 1 — точка на левом конце, то есть 1, значит, \(b = 3\) и \(a + 3 = 1\), откуда \(a = -2\).
\(\bar{y} = -2 \cdot 0{,}42 + 3 = 2{,}16\).
\(S_y^2 = (-2)^2 \cdot 0{,}11 = 0{,}44\).
в) Порядок точек тоже обратный: числу 0 отвечает 8, а числу 1 — точка на левом конце, то есть \(7{,}5\), значит, \(b = 8\) и \(a + 8 = 7{,}5\), откуда \(a = -0{,}5\).
\(\bar{y} = -0{,}5 \cdot 0{,}42 + 8 = 7{,}79\).
\(S_y^2 = (-0{,}5)^2 \cdot 0{,}11 = 0{,}0275\).
г) Порядок точек прямой: числу 0 отвечает \(-10\), а числу 1 — крайняя правая точка, которая стоит на половину деления правее отметки 4, то есть 5, значит, \(b = -10\) и \(a - 10 = 5\), откуда \(a = 15\).
\(\bar{y} = 15 \cdot 0{,}42 - 10 = -3{,}7\).
\(S_y^2 = 15^2 \cdot 0{,}11 = 24{,}75\).
Ответ: а) \(a = 1\), \(b = 3\), \(\bar{y} = 3{,}42\), \(S_y^2 = 0{,}11\); б) \(a = -2\), \(b = 3\), \(\bar{y} = 2{,}16\), \(S_y^2 = 0{,}44\); в) \(a = -0{,}5\), \(b = 8\), \(\bar{y} = 7{,}79\), \(S_y^2 = 0{,}0275\); г) \(a = 15\), \(b = -10\), \(\bar{y} = -3{,}7\), \(S_y^2 = 24{,}75\).
На верхней прямой крайняя левая точка набора \(x\) стоит ровно в 0, а крайняя правая — ровно в 1. Числа \(a\) и \(b\) находятся по образам этих двух чисел: при \(x = 0\) получается \(y = b\), а при \(x = 1\) получается \(y = a + b\).
Расположение точек на каждой из четырёх прямых, взятой в своём масштабе, повторяет верхнюю прямую, но на двух из них порядок точек обратный — там наибольшему числу набора \(x\) отвечает наименьшее число набора \(y\), а значит, множитель \(a\) отрицателен.
Среднее значение и дисперсия набора \(y\) считаются по свойствам линейного преобразования: сдвиг переносит среднее и не меняет дисперсию, а умножение на \(a\) умножает среднее на \(a\), а дисперсию на \(a^2\). Значит, \(\bar{y} = a\bar{x} + b\) и \(S_y^2 = a^2 S_x^2\).
а) Порядок точек прямой: числу 0 отвечает 3, числу 1 отвечает 4. Значит, \(b = 3\) и \(a + 3 = 4\), откуда \(a = 1\).
Тогда \(\bar{y} = 1 \cdot 0{,}42 + 3 = 3{,}42\) и \(S_y^2 = 1^2 \cdot 0{,}11 = 0{,}11\).
б) Порядок точек обратный: числу 0 отвечает 3, а числу 1 — точка на левом конце, то есть 1. Значит, \(b = 3\) и \(a + 3 = 1\), откуда \(a = -2\).
Тогда \(\bar{y} = -2 \cdot 0{,}42 + 3 = 2{,}16\) и \(S_y^2 = (-2)^2 \cdot 0{,}11 = 0{,}44\).
в) Порядок точек тоже обратный: числу 0 отвечает 8, а числу 1 — точка на левом конце, то есть \(7{,}5\). Значит, \(b = 8\) и \(a + 8 = 7{,}5\), откуда \(a = -0{,}5\).
Тогда \(\bar{y} = -0{,}5 \cdot 0{,}42 + 8 = 7{,}79\) и \(S_y^2 = (-0{,}5)^2 \cdot 0{,}11 = 0{,}0275\).
г) Порядок точек прямой: числу 0 отвечает \(-10\), а числу 1 — крайняя правая точка, которая стоит на половину деления правее отметки 4, то есть 5. Значит, \(b = -10\) и \(a - 10 = 5\), откуда \(a = 15\).
Тогда \(\bar{y} = 15 \cdot 0{,}42 - 10 = -3{,}7\) и \(S_y^2 = 15^2 \cdot 0{,}11 = 24{,}75\).
Ответ: а) \(a = 1\), \(b = 3\), \(\bar{y} = 3{,}42\), \(S_y^2 = 0{,}11\); б) \(a = -2\), \(b = 3\), \(\bar{y} = 2{,}16\), \(S_y^2 = 0{,}44\); в) \(a = -0{,}5\), \(b = 8\), \(\bar{y} = 7{,}79\), \(S_y^2 = 0{,}0275\); г) \(a = 15\), \(b = -10\), \(\bar{y} = -3{,}7\), \(S_y^2 = 24{,}75\).
