Страница 29 номер 47, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Пусть \(a > 0\) и \(b > 0\); тогда определены корни \(\sqrt{a}\) и \(\sqrt{b}\) и все четыре средних.
Среднее геометрическое не больше среднего арифметического: \[\frac{a + b}{2} - \sqrt{ab} = \frac{a - 2\sqrt{ab} + b}{2} = \frac{\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)^2}{2} \geqslant 0.\]
Разность равна нулю только при \(\sqrt{a} = \sqrt{b}\), то есть при \(a = b\); при \(a \neq b\) неравенство \(\sqrt{ab} \leqslant \frac{a + b}{2}\) строгое.
Среднее гармоническое не больше среднего геометрического. Запишем его в виде \(\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{2ab}{a + b}\) и вычтем из среднего геометрического, пользуясь тем, что \(2ab = \sqrt{ab} \cdot 2\sqrt{ab}\): \[\begin{aligned} &\sqrt{ab} - \frac{2ab}{a + b} = \frac{\sqrt{ab}\left(a - 2\sqrt{ab} + b\right)}{a + b} = {} \\ &= \frac{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)^2}{a + b} \geqslant 0. \end{aligned}\]
Знаменатель \(a + b\) и множитель \(\sqrt{ab}\) положительны, квадрат неотрицателен, поэтому и вся разность неотрицательна, а нулю равна только при \(a = b\).
Среднее арифметическое не больше среднего квадратичного. Обе части положительны, поэтому сравним их квадраты: \[\frac{a^2 + b^2}{2} - \left(\frac{a + b}{2}\right)^2 = \frac{2(a^2 + b^2) - (a + b)^2}{4} = \frac{(a - b)^2}{4} \geqslant 0.\]
Значит, \(\left(\frac{a + b}{2}\right)^2 \leqslant \frac{a^2 + b^2}{2}\), а так как обе части положительны, то и \(\frac{a + b}{2} \leqslant \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}\); нулю разность квадратов равна только при \(a = b\).
Каждая из трёх разностей обращается в нуль только при \(a = b\). Наоборот, при \(a = b\) все четыре средних совпадают: \[\frac{2}{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{a}} = a, \qquad \sqrt{a \cdot a} = a, \qquad \frac{a + a}{2} = a, \qquad \sqrt{\frac{a^2 + a^2}{2}} = a.\]
Ответ: цепочка неравенств о средних для двух положительных чисел доказана: \(\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leqslant \sqrt{ab} \leqslant \frac{a + b}{2} \leqslant \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}\), причём все три неравенства обращаются в равенства тогда и только тогда, когда \(a = b\).
Пусть \(a > 0\) и \(b > 0\); тогда определены корни \(\sqrt{a}\) и \(\sqrt{b}\) и все четыре средних. Докажем неравенства цепочки по очереди.
Среднее геометрическое не больше среднего арифметического — это видно из неотрицательности квадрата: \[\frac{a + b}{2} - \sqrt{ab} = \frac{a - 2\sqrt{ab} + b}{2} = \frac{\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)^2}{2} \geqslant 0.\]
Разность равна нулю только при \(\sqrt{a} = \sqrt{b}\), то есть при \(a = b\); при \(a \neq b\) она положительна, и неравенство \(\sqrt{ab} \leqslant \frac{a + b}{2}\) строгое.
Среднее гармоническое не больше среднего геометрического. Запишем среднее гармоническое в виде \(\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{2ab}{a + b}\) и вычтем его из среднего геометрического, пользуясь тем, что \(2ab = \sqrt{ab} \cdot 2\sqrt{ab}\): \[\begin{aligned} &\sqrt{ab} - \frac{2ab}{a + b} = \frac{\sqrt{ab}\left(a - 2\sqrt{ab} + b\right)}{a + b} = {} \\ &= \frac{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)^2}{a + b} \geqslant 0. \end{aligned}\]
Знаменатель \(a + b\) и множитель \(\sqrt{ab}\) положительны, квадрат неотрицателен, поэтому и вся разность неотрицательна, а нулю она равна только при \(a = b\).
Среднее арифметическое не больше среднего квадратичного. Обе части этого неравенства положительны, поэтому достаточно сравнить их квадраты: \[\frac{a^2 + b^2}{2} - \left(\frac{a + b}{2}\right)^2 = \frac{2(a^2 + b^2) - (a + b)^2}{4} = \frac{(a - b)^2}{4} \geqslant 0.\]
Значит, \(\left(\frac{a + b}{2}\right)^2 \leqslant \frac{a^2 + b^2}{2}\), а так как обе части положительны, то и \(\frac{a + b}{2} \leqslant \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}\). Нулю разность квадратов равна только при \(a = b\).
Каждая из трёх разностей обращается в нуль только при \(a = b\). Наоборот, при \(a = b\) все четыре средних совпадают: \[\frac{2}{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{a}} = a, \qquad \sqrt{a \cdot a} = a, \qquad \frac{a + a}{2} = a, \qquad \sqrt{\frac{a^2 + a^2}{2}} = a.\]
Ответ: цепочка неравенств о средних для двух положительных чисел доказана: \(\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leqslant \sqrt{ab} \leqslant \frac{a + b}{2} \leqslant \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}\), причём все три неравенства обращаются в равенства тогда и только тогда, когда \(a = b\).
