Страница 29 номер 43, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Ни одно из трёх равенств не выполняется, и в каждом пункте достаточно контрпримера. Возьмём набор \(x = \{1,\ 3\}\) из различных чисел и сдвиг \(a = 1\); тогда \(y = \{2,\ 4\}\), и все числа обоих наборов положительны, то есть все три средних определены.
а) \(Q_x = \sqrt{\frac{1^2 + 3^2}{2}} = \sqrt{5}\) и \(Q_y = \sqrt{\frac{2^2 + 4^2}{2}} = \sqrt{10}\). Числа \(Q_y\) и \(Q_x + a = \sqrt{5} + 1\) положительны, поэтому сравним их квадраты: \(Q_y^2 = 10\), а \(\left(\sqrt{5} + 1\right)^2 = 6 + 2\sqrt{5}\). Так как \(\sqrt{5} > 2\), то \(6 + 2\sqrt{5} > 10\), значит, \(Q_x + a > Q_y\) и равенство неверно.
б) \(G_x = \sqrt{1 \cdot 3} = \sqrt{3}\) и \(G_y = \sqrt{2 \cdot 4} = \sqrt{8}\). Квадрат числа \(G_x + a = \sqrt{3} + 1\) равен \(4 + 2\sqrt{3}\), а \(G_y^2 = 8\). Так как \(\sqrt{3} < 2\), то \(4 + 2\sqrt{3} < 8\), значит, \(G_x + a < G_y\) и равенство неверно.
в) Средние гармонические равны \[H_x = \frac{2}{1 + \dfrac{1}{3}} = \frac{2}{\dfrac{4}{3}} = \frac{3}{2}, \qquad H_y = \frac{2}{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}} = \frac{2}{\dfrac{3}{4}} = \frac{8}{3}.\]
При этом \(H_x + a = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}\), а \(\frac{5}{2} \neq \frac{8}{3}\), значит, равенство неверно.
Ответ: а) неверно, \(Q_y \neq Q_x + a\); б) неверно, \(G_y \neq G_x + a\); в) неверно, \(H_y \neq H_x + a\) — контрпримером во всех трёх пунктах служит набор \(x = \{1,\ 3\}\) со сдвигом \(a = 1\).
Ни одно из трёх равенств не выполняется, и в каждом пункте достаточно контрпримера. На наборе из одинаковых чисел все три равенства как раз выполнялись бы, поэтому контрпример надо составлять из различных чисел; кроме того, после сдвига числа должны остаться положительными, иначе среднее геометрическое и среднее гармоническое не определены.
Возьмём набор \(x = \{1,\ 3\}\) и сдвиг \(a = 1\). Тогда \(y = \{2,\ 4\}\), и все числа обоих наборов положительны.
а) Средние квадратичные равны \(Q_x = \sqrt{\frac{1^2 + 3^2}{2}} = \sqrt{5}\) и \(Q_y = \sqrt{\frac{2^2 + 4^2}{2}} = \sqrt{10}\). Числа \(Q_y\) и \(Q_x + a = \sqrt{5} + 1\) положительны, поэтому сравним их квадраты: \(Q_y^2 = 10\), а \(\left(\sqrt{5} + 1\right)^2 = 6 + 2\sqrt{5}\). Так как \(\sqrt{5} > 2\), то \(6 + 2\sqrt{5} > 10\), значит, \(Q_x + a > Q_y\) и равенство \(Q_y = Q_x + a\) неверно.
б) Средние геометрические равны \(G_x = \sqrt{1 \cdot 3} = \sqrt{3}\) и \(G_y = \sqrt{2 \cdot 4} = \sqrt{8}\). Квадрат числа \(G_x + a = \sqrt{3} + 1\) равен \(4 + 2\sqrt{3}\), а \(G_y^2 = 8\). Так как \(\sqrt{3} < 2\), то \(4 + 2\sqrt{3} < 8\), значит, \(G_x + a < G_y\) и равенство \(G_y = G_x + a\) неверно.
в) Средние гармонические равны \[H_x = \frac{2}{1 + \dfrac{1}{3}} = \frac{2}{\dfrac{4}{3}} = \frac{3}{2}, \qquad H_y = \frac{2}{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}} = \frac{2}{\dfrac{3}{4}} = \frac{8}{3}.\]
При этом \(H_x + a = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}\), а \(\frac{5}{2} \neq \frac{8}{3}\), значит, равенство \(H_y = H_x + a\) неверно.
Ответ: а) неверно, \(Q_y \neq Q_x + a\); б) неверно, \(G_y \neq G_x + a\); в) неверно, \(H_y \neq H_x + a\) — контрпримером во всех трёх пунктах служит набор \(x = \{1,\ 3\}\) со сдвигом \(a = 1\).
