Вопросы после параграфа §8 на странице 35, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
При сдвиге \(y = x + b\) сумма всех чисел массива увеличивается на \(nb\), поэтому \[\bar{y} = \frac{(x_1 + b) + (x_2 + b) + \ldots + (x_n + b)}{n} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n + nb}{n} = \bar{x} + b.\]
Ответ: при сдвиге на \(b\) среднее арифметическое сдвигается на то же число: \(\bar{y} = \bar{x} + b\).
При умножении \(y = ax\) множитель \(a\) выносится за скобки в числителе, поэтому \[\bar{y} = \frac{ax_1 + ax_2 + \ldots + ax_n}{n} = a \cdot \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = a\bar{x}.\]
Ответ: при умножении всех чисел на \(a\) среднее арифметическое умножается на то же число: \(\bar{y} = a\bar{x}\).
При сдвиге \(y = x + b\) среднее арифметическое сдвигается на то же число \(b\), поэтому все отклонения от среднего сохраняются: \((x_j + b) - (\bar{x} + b) = x_j - \bar{x}\). Значит, не меняются ни средний квадрат отклонений, ни его корень: \[S_y^2 = S_x^2 \quad \text{и} \quad S_y = S_x.\]
При умножении \(y = ax\) среднее равно \(a\bar{x}\), каждое отклонение умножается на \(a\), а его квадрат — на \(a^2\), и этот общий множитель выносится за скобки: \[S_y^2 = a^2 S_x^2 \quad \text{и} \quad S_y = |a| S_x.\]
Модуль здесь обязателен: стандартное отклонение неотрицательно, а множитель \(a\) может быть и отрицательным.
Ответ: при сдвиге дисперсия и стандартное отклонение не меняются; при умножении всех чисел на \(a\) дисперсия умножается на \(a^2\), а стандартное отклонение — на \(|a|\).
Всего в таблице учтено 387 разговоров, разбитых на восемь интервалов по 2 мин. Частота интервала — это доля попавших в него разговоров, и почти все такие доли выражаются бесконечными десятичными дробями, а в строке «Частота» они записаны с округлением до тысячных: например, \(\frac{277}{387} = 0{,}71576\ldots \approx 0{,}716\) и \(\frac{1}{387} = 0{,}00258\ldots \approx 0{,}003\).
Точные частоты в сумме дают ровно 1, но из восьми частот шесть округлены с избытком и лишь две — с недостатком, поэтому накопленный излишек и дал лишнюю тысячную.
Ответ: частоты записаны в таблице с округлением до тысячных; сумма точных частот равна 1, а сумма округлённых чисел отличается от неё на одну тысячную, так как большинство частот округлено с избытком. Это не ошибка в данных, а следствие округления.
Сдвиг — это преобразование \(y = x + b\): к каждому числу массива прибавляется одно и то же число \(b\). Сумма всех чисел при этом увеличивается на \(nb\), поэтому \[\bar{y} = \frac{(x_1 + b) + (x_2 + b) + \ldots + (x_n + b)}{n} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n + nb}{n} = \bar{x} + b.\]
Например, у массива \(2;\ 4;\ 9\) среднее арифметическое равно 5, а у сдвинутого на 10 массива \(12;\ 14;\ 19\) среднее равно \(\frac{45}{3} = 15\), то есть на те же 10 больше.
Ответ: при сдвиге на \(b\) среднее арифметическое сдвигается на то же число: \(\bar{y} = \bar{x} + b\).
При умножении \(y = ax\) множитель \(a\) выносится за скобки в числителе, поэтому \[\bar{y} = \frac{ax_1 + ax_2 + \ldots + ax_n}{n} = a \cdot \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = a\bar{x}.\]
Например, у массива \(2;\ 4;\ 9\) среднее арифметическое равно 5, а у массива \(6;\ 12;\ 27\), полученного умножением на 3, среднее равно \(\frac{45}{3} = 15 = 3 \cdot 5\).
Ответ: при умножении всех чисел на \(a\) среднее арифметическое умножается на то же число: \(\bar{y} = a\bar{x}\).
При сдвиге \(y = x + b\) среднее арифметическое сдвигается на то же число \(b\), поэтому все отклонения от среднего сохраняются: \((x_j + b) - (\bar{x} + b) = x_j - \bar{x}\). Значит, не меняются ни средний квадрат отклонений, ни его корень: \[S_y^2 = S_x^2 \quad \text{и} \quad S_y = S_x.\]
При умножении \(y = ax\) среднее равно \(a\bar{x}\), каждое отклонение умножается на \(a\), а его квадрат — на \(a^2\). Этот общий множитель выносится за скобки, поэтому \[S_y^2 = a^2 S_x^2 \quad \text{и} \quad S_y = |a| S_x.\] Модуль здесь обязателен: стандартное отклонение неотрицательно, а множитель \(a\) может быть и отрицательным.
Например, у массива \(1;\ 1;\ 5;\ 5\) дисперсия равна 4, а стандартное отклонение равно 2. У массива \(-3;\ -3;\ -15;\ -15\), полученного умножением на \(-3\), дисперсия равна \(9 \cdot 4 = 36\), а стандартное отклонение равно \(|-3| \cdot 2 = 6\).
Ответ: при сдвиге дисперсия и стандартное отклонение не меняются; при умножении всех чисел на \(a\) дисперсия умножается на \(a^2\), а стандартное отклонение — на \(|a|\).
Всего в таблице учтено 387 разговоров, разбитых на восемь интервалов по 2 мин. Частота каждого интервала — это доля попавших в него разговоров, и почти все такие доли выражаются бесконечными десятичными дробями. В строке «Частота» они записаны с округлением до тысячных: например, \(\frac{277}{387} = 0{,}71576\ldots \approx 0{,}716\) и \(\frac{1}{387} = 0{,}00258\ldots \approx 0{,}003\).
Точные частоты в сумме дают ровно 1, но каждое округление немного меняет число. Из восьми частот шесть округлены с избытком и лишь две — с недостатком, поэтому накопленный излишек и дал лишнюю тысячную.
Ответ: частоты записаны в таблице с округлением до тысячных; сумма точных частот равна 1, а сумма округлённых чисел отличается от неё на одну тысячную, так как большинство частот округлено с избытком. Это не ошибка в данных, а следствие округления.
