Страница 29 номер 45, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Имеется массив чисел \(x_1\), \(x_2\), ..., \(x_n\), причём среди этих чисел есть различные. Что больше — среднее арифметическое квадратов этих чисел или квадрат среднего арифметического этих чисел?
Среднее арифметическое чисел массива обозначим \(A\). Тогда \(x_1 + x_2 + \ldots + x_n = nA\), а сравнить надо число \(\frac{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2}{n}\) с числом \(A^2\).
Раскроем скобки в сумме квадратов отклонений чисел массива от \(A\): \[\begin{aligned} &(x_1 - A)^2 + (x_2 - A)^2 + \ldots + (x_n - A)^2 = {} \\ &= x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 - 2A(x_1 + x_2 + \ldots + x_n) + nA^2. \end{aligned}\]
Сумма в скобках равна \(nA\), поэтому два последних слагаемых дают \(-2A \cdot nA + nA^2 = -nA^2\), и вся сумма квадратов отклонений равна \(x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 - nA^2\).
Каждое слагаемое \((x_j - A)^2\) неотрицательно, и все они нулю равняться не могут: тогда каждое число массива равнялось бы \(A\), а среди чисел есть различные. Значит, хотя бы одно слагаемое положительно и вся сумма положительна: \[x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 - nA^2 > 0.\]
Разделив на \(n > 0\), получаем \[\frac{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2}{n} > A^2.\]
Слева стоит среднее арифметическое квадратов, справа — квадрат среднего арифметического.
Ответ: больше среднее арифметическое квадратов этих чисел.
Имеется массив чисел \(x_1\), \(x_2\), ..., \(x_n\), причём среди этих чисел есть различные. Что больше — среднее арифметическое квадратов этих чисел или квадрат среднего арифметического этих чисел?
Обозначим среднее арифметическое чисел массива буквой \(A\). Тогда \(x_1 + x_2 + \ldots + x_n = nA\), а сравнить надо число \(\frac{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2}{n}\) с числом \(A^2\).
Про знаки чисел \(x_1\), \(x_2\), …, \(x_n\) в условии ничего не сказано, поэтому сравним эти величины прямым преобразованием. Раскроем скобки в сумме квадратов отклонений чисел массива от \(A\): \[\begin{aligned} &(x_1 - A)^2 + (x_2 - A)^2 + \ldots + (x_n - A)^2 = {} \\ &= x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 - 2A(x_1 + x_2 + \ldots + x_n) + nA^2. \end{aligned}\]
Сумма в скобках равна \(nA\), поэтому два последних слагаемых дают \(-2A \cdot nA + nA^2 = -nA^2\), и вся сумма квадратов отклонений равна \(x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 - nA^2\).
Каждое слагаемое \((x_j - A)^2\) неотрицательно. Если бы все они равнялись нулю, то каждое число массива равнялось бы \(A\) и все числа были бы равны между собой, а среди них есть различные. Значит, хотя бы одно слагаемое положительно и вся сумма положительна: \[x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 - nA^2 > 0.\]
Разделив на \(n > 0\), получаем \[\frac{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2}{n} > A^2.\]
Слева стоит среднее арифметическое квадратов чисел массива, справа — квадрат их среднего арифметического.
Ответ: больше среднее арифметическое квадратов этих чисел.
