Вопросы после параграфа §6 на странице 27, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Для набора положительных чисел \(x = \{x_1,\ x_2,\ \ldots,\ x_n\}\) \[M_k(x) = \left(\frac{x_1^k + x_2^k + \ldots + x_n^k}{n}\right)^{\frac{1}{k}}.\]
Ответ: \(M_k(x) = \left(\frac{x_1^k + x_2^k + \ldots + x_n^k}{n}\right)^{\frac{1}{k}}\).
Степенное среднее набора положительных чисел тем больше, чем больше степень \(k\), а четвёртая степень больше третьей, поэтому \[M_3(x) \leqslant M_4(x).\]
Если среди чисел набора есть различные, неравенство строгое: \(M_3(x) < M_4(x)\); равны эти средние только у набора, все числа которого одинаковы.
Ответ: больше степенное среднее четвёртой степени: \(M_3(x) \leqslant M_4(x)\), причём равенство возможно только тогда, когда все числа набора равны между собой.
Среднее кубическое — это \(M_3(x)\), среднее квадратичное — это \(M_2(x)\), и по условию \(M_2(x) = M_3(x) = 5\).
Равенство в \(M_2(x) \leqslant M_3(x)\) наступает, только если все числа набора равны между собой, значит, все они равны одному и тому же числу \(c\), и тогда \[M_2(x) = \sqrt{\frac{c^2 + c^2 + \ldots + c^2}{n}} = \sqrt{\frac{nc^2}{n}} = \sqrt{c^2} = c.\]
Из равенства \(M_2(x) = 5\) получаем \(c = 5\).
Проверка: у набора 5; 5; 5 среднее квадратичное равно \(\sqrt{\frac{75}{3}} = 5\), а степенное среднее третьей степени равно \(\sqrt[3]{\frac{375}{3}} = \sqrt[3]{125} = 5\).
Ответ: все числа данного набора равны 5.
Для набора положительных чисел \(x = \{x_1,\ x_2,\ \ldots,\ x_n\}\) степенное среднее степени \(k\) — это \[M_k(x) = \left(\frac{x_1^k + x_2^k + \ldots + x_n^k}{n}\right)^{\frac{1}{k}}.\]
При \(k = 1\) получается среднее арифметическое \(A\), при \(k = 2\) — среднее квадратичное \(Q\), при \(k = -1\) — среднее гармоническое \(H\), а когда \(k\) приближается к нулю, \(M_k(x)\) приближается к среднему геометрическому \(G\).
Ответ: \(M_k(x) = \left(\frac{x_1^k + x_2^k + \ldots + x_n^k}{n}\right)^{\frac{1}{k}}\).
По теореме о средних степенное среднее набора положительных чисел тем больше, чем больше степень \(k\), причём равенство наступает, только если все числа набора равны между собой. Четвёртая степень больше третьей, поэтому \[M_3(x) \leqslant M_4(x).\]
Значит, степенное среднее четвёртой степени не меньше степенного среднего третьей степени. Если среди чисел набора есть различные, неравенство строгое: \(M_3(x) < M_4(x)\). Равны эти средние бывают только у набора, все числа которого одинаковы: например, для набора 7; 7; 7 оба средних равны 7.
Ответ: больше степенное среднее четвёртой степени: \(M_3(x) \leqslant M_4(x)\), причём равенство возможно только тогда, когда все числа набора равны между собой.
Среднее кубическое — это степенное среднее третьей степени \(M_3(x)\), а среднее квадратичное — степенное среднее второй степени \(M_2(x) = Q\). По условию \(M_2(x) = M_3(x) = 5\).
По теореме о средних \(M_2(x) \leqslant M_3(x)\), и равенство наступает, только если все числа набора равны между собой. Здесь равенство есть, значит, все числа набора одинаковы. Пусть каждое из них равно \(c\), тогда \[M_2(x) = \sqrt{\frac{c^2 + c^2 + \ldots + c^2}{n}} = \sqrt{\frac{nc^2}{n}} = \sqrt{c^2} = c,\] и из равенства \(M_2(x) = 5\) получаем \(c = 5\).
Проверка: у набора 5; 5; 5 среднее квадратичное равно \(\sqrt{\frac{75}{3}} = 5\), а степенное среднее третьей степени равно \(\sqrt[3]{\frac{375}{3}} = \sqrt[3]{125} = 5\).
Ответ: все числа данного набора равны 5.
