Страница 22 номер 30, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Левая граница ящика стоит на отметке 56, правая — на отметке 78, значит, \(K_1 = 56\) и \(K_3 = 78\). Вертикальная черта внутри ящика — медиана: \(m = 73\); чёрная точка на оси — среднее арифметическое: \(\bar{x} = 67\). Концы усов отмечены на оси у отметок 23 и 111.
а) \(67 < 73\): среднее арифметическое меньше медианы, а не больше — высказывание ложно.
б) Медиана равна 73, поэтому хотя бы половина значений не меньше 73, и все они больше 68; значит, значений, не превосходящих 68, в массиве не больше половины.
Чтобы их оказалось не меньше половины, нужно было бы, чтобы ровно половина значений не превосходила 68, ровно половина была не меньше 73, а между 68 и 73 не стояло ни одного значения. Диаграмма даёт только квартили, медиану, среднее и концы усов, поэтому истинным высказывание считать нельзя.
в) Число 111 — правый конец правого уса; он не является значением массива, а вычисляется по квартилям: \[K_3 + 1{,}5(K_3 - K_1) = 78 + 1{,}5 \cdot 22 = 78 + 33 = 111.\] Наибольшее значение массива может быть меньше 111, а могут найтись и значения правее 111 — они были бы выбросами; наибольшего значения диаграмма не показывает, поэтому истинным высказывание считать нельзя.
г) \(K_3 - K_1 = 78 - 56 = 22\) — высказывание истинно.
Ответ: а) нет, высказывание ложно: среднее арифметическое меньше медианы; б) нет, истинным высказывание считать нельзя: значений, не превосходящих 68, в массиве не больше половины, а того, что их ровно половина, диаграмма не показывает; в) нет, истинным высказывание считать нельзя: 111 — это конец уса, вычисленная граница, а не значение массива; г) да, высказывание истинно: межквартильный размах равен 22.
Снимем с диаграммы всё, что на ней отмечено. Ящик тянется от первого квартиля до третьего: его левая граница стоит на отметке 56, правая — на отметке 78, значит, \(K_1 = 56\) и \(K_3 = 78\). Вертикальная черта внутри ящика — медиана: \(m = 73\). Чёрная точка на оси внутри ящика — среднее арифметическое: \(\bar{x} = 67\). Концы усов отмечены на оси удлинёнными штрихами у отметок 23 и 111.
а) Среднее арифметическое равно 67, медиана равна 73, и \(67 < 73\). Значит, среднее арифметическое меньше медианы, а не больше: высказывание ложно.
б) Медиана массива равна 73. По определению медианы хотя бы половина значений не меньше 73, и все они больше 68. Поэтому значений, не превосходящих 68, в массиве не больше половины.
Чтобы их оказалось не меньше половины, нужно было бы, чтобы ровно половина значений не превосходила 68, ровно половина была не меньше 73, а между 68 и 73 не стояло ни одного значения. Диаграмма ничего подобного не показывает: она даёт только квартили, медиану, среднее и концы усов. Значит, истинным высказывание считать нельзя.
в) Число 111 — это правый конец правого уса. Конец уса не является значением массива: он вычисляется по квартилям и равен \[K_3 + 1{,}5(K_3 - K_1) = 78 + 1{,}5 \cdot 22 = 78 + 33 = 111.\] Наибольшее значение массива может быть меньше 111, а могут найтись и значения правее 111 — они были бы выбросами. Наибольшего значения диаграмма не показывает, поэтому истинным высказывание считать нельзя.
г) Межквартильный размах равен разности третьего и первого квартилей: \(K_3 - K_1 = 78 - 56 = 22\). Высказывание истинно.
Ответ: а) нет, высказывание ложно: среднее арифметическое меньше медианы; б) нет, истинным высказывание считать нельзя: значений, не превосходящих 68, в массиве не больше половины, а того, что их ровно половина, диаграмма не показывает; в) нет, истинным высказывание считать нельзя: 111 — это конец уса, вычисленная граница, а не значение массива; г) да, высказывание истинно: межквартильный размах равен 22.
