Страница 28 номер 40, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
а) Обозначим время на производство единицы продукции через \(x_1\), \(x_2\), …, \(x_5\) и предположим, что все пять предприятий работают одно и то же время \(t\). Предприятие с номером \(j\) выпустит за это время \(\frac{t}{x_j}\) единиц продукции, все пять вместе — \(t\left(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_5}\right)\) единиц, а затрачено на это \(5t\) часов работы.
Среднее время на единицу продукции — это все затраченные часы, делённые на число выпущенных единиц: \[\frac{5t}{t\left(\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \ldots + \dfrac{1}{x_5}\right)} = \frac{5}{\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \ldots + \dfrac{1}{x_5}}.\]
Справа стоит среднее гармоническое \(H\) измеренных данных, а время \(t\) из ответа ушло.
б) Время на производство единицы продукции равно \(2{,}34\); \(2{,}67\); \(2{,}12\); \(2{,}94\); \(3{,}02\) ч/ед., поэтому \[H = \frac{5}{\dfrac{1}{2{,}34} + \dfrac{1}{2{,}67} + \dfrac{1}{2{,}12} + \dfrac{1}{2{,}94} + \dfrac{1}{3{,}02}} \approx \frac{5}{1{,}9448} \approx 2{,}57.\]
Среднее арифметическое тех же чисел равно \(\frac{13{,}09}{5} = 2{,}618\) — оно больше и для этой задачи не годится.
Ответ: а) среднее время на производство единицы продукции равно среднему гармоническому измеренных данных; б) примерно \(2{,}57\) ч/ед.
а) Обозначим время на производство единицы продукции на пяти предприятиях через \(x_1\), \(x_2\), …, \(x_5\) и предположим, что все пять предприятий работают одно и то же время \(t\). Предприятие с номером \(j\) тратит на одну единицу \(x_j\) часов, поэтому за время \(t\) оно выпустит \(\frac{t}{x_j}\) единиц продукции, а все пять вместе — \(t\left(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_5}\right)\) единиц. Всего на это затрачено \(5t\) часов работы.
Среднее время на производство единицы продукции — это все затраченные часы, делённые на число выпущенных единиц: \[\frac{5t}{t\left(\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \ldots + \dfrac{1}{x_5}\right)} = \frac{5}{\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \ldots + \dfrac{1}{x_5}}.\]
Справа стоит в точности среднее гармоническое \(H\) измеренных данных. Время \(t\) из ответа ушло, значит, от выбранного промежутка работы ответ не зависит.
б) Время на производство единицы продукции равно \(2{,}34\); \(2{,}67\); \(2{,}12\); \(2{,}94\); \(3{,}02\) ч/ед., поэтому среднее время равно \[H = \frac{5}{\dfrac{1}{2{,}34} + \dfrac{1}{2{,}67} + \dfrac{1}{2{,}12} + \dfrac{1}{2{,}94} + \dfrac{1}{3{,}02}} \approx \frac{5}{1{,}9448} \approx 2{,}57.\]
Среднее арифметическое тех же чисел равно \(\frac{13{,}09}{5} = 2{,}618\) — оно больше и для этой задачи не годится.
Ответ: а) среднее время на производство единицы продукции равно среднему гармоническому измеренных данных; б) примерно \(2{,}57\) ч/ед.
