Страница 29 номер 48, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
По условию среднее арифметическое \(A = 10\), а среднее квадратичное \(Q < \sqrt{1000}\).
Из \(A = 10\) следует, что сумма всех чисел набора равна \(10n\). Из \(Q < \sqrt{1000}\) следует, что \(\frac{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2}{n} < 1000\), то есть \[x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 < 1000n.\]
Пусть в наборе ровно \(k\) чисел, отличных от нуля, и занумерованы они первыми: \(x_1\), \(x_2\), …, \(x_k\). Хотя бы одно такое число есть, то есть \(k \geqslant 1\): у набора из одних нулей среднее арифметическое равнялось бы нулю, а не 10.
Нули не меняют ни суммы чисел, ни суммы их квадратов, поэтому \[x_1 + \ldots + x_k = 10n, \qquad x_1^2 + \ldots + x_k^2 = x_1^2 + \ldots + x_n^2.\]
Среднее арифметическое ненулевых чисел равно \(c = \frac{10n}{k}\); раскроем скобки в сумме квадратов их отклонений от \(c\): \[\begin{aligned} &(x_1 - c)^2 + \ldots + (x_k - c)^2 = {} \\ &= x_1^2 + \ldots + x_k^2 - 2c(x_1 + \ldots + x_k) + kc^2. \end{aligned}\]
Сумма \(x_1 + \ldots + x_k\) равна \(kc\), поэтому два последних слагаемых дают \(-2kc^2 + kc^2 = -kc^2\). Слева стоит сумма неотрицательных слагаемых, значит, она неотрицательна, и \[x_1^2 + \ldots + x_k^2 \geqslant kc^2 = k \cdot \frac{100n^2}{k^2} = \frac{100n^2}{k}.\]
Сумма квадратов ненулевых чисел равна сумме квадратов всех чисел набора, а та меньше \(1000n\), поэтому \(\frac{100n^2}{k} < 1000n\). Разделив обе части на положительное число \(100n\), получаем \(\frac{n}{k} < 10\), откуда \(n < 10k\) и \(k > 0{,}1n\).
Ответ: утверждение доказано: чисел, отличных от нуля, в наборе больше чем \(0{,}1n\), то есть отличны от нуля по крайней мере 10 % чисел данного набора.
Обозначим среднее арифметическое набора буквой \(A\), а его среднее квадратичное — буквой \(Q\); по условию \(A = 10\) и \(Q < \sqrt{1000}\).
Из \(A = 10\) следует, что сумма всех чисел набора равна \(10n\). Из \(Q < \sqrt{1000}\) следует, что \(\frac{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2}{n} < 1000\), то есть \[x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 < 1000n.\]
Пусть в наборе ровно \(k\) чисел, отличных от нуля, и пусть числа занумерованы так, что это первые из них: \(x_1\), \(x_2\), …, \(x_k\). Хотя бы одно ненулевое число есть, то есть \(k \geqslant 1\): если бы все числа набора были нулями, среднее арифметическое равнялось бы нулю, а не 10.
Нули не меняют ни суммы чисел, ни суммы их квадратов, поэтому \[x_1 + \ldots + x_k = 10n, \qquad x_1^2 + \ldots + x_k^2 = x_1^2 + \ldots + x_n^2.\]
Обозначим буквой \(c\) среднее арифметическое ненулевых чисел: \(c = \frac{10n}{k}\). Раскроем скобки в сумме квадратов отклонений этих чисел от \(c\): \[\begin{aligned} &(x_1 - c)^2 + \ldots + (x_k - c)^2 = {} \\ &= x_1^2 + \ldots + x_k^2 - 2c(x_1 + \ldots + x_k) + kc^2. \end{aligned}\]
Сумма \(x_1 + \ldots + x_k\) равна \(kc\), поэтому два последних слагаемых дают \(-2kc^2 + kc^2 = -kc^2\). Слева стоит сумма неотрицательных слагаемых, значит, она неотрицательна, и \[x_1^2 + \ldots + x_k^2 \geqslant kc^2 = k \cdot \frac{100n^2}{k^2} = \frac{100n^2}{k}.\]
Сумма квадратов ненулевых чисел равна сумме квадратов всех чисел набора, а та меньше \(1000n\), поэтому \(\frac{100n^2}{k} < 1000n\). Разделив обе части на положительное число \(100n\), получаем \(\frac{n}{k} < 10\), откуда \(n < 10k\) и \(k > 0{,}1n\).
Ответ: утверждение доказано: чисел, отличных от нуля, в наборе больше чем \(0{,}1n\), то есть отличны от нуля по крайней мере 10 % чисел данного набора.
