Вопросы после параграфа §7 на странице 30, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Стандартное отклонение массива \(x_1,\ x_2,\ \ldots,\ x_n\) — это среднее квадратичное отклонений этих чисел от их среднего арифметического \(\bar{x}\): \[S_x = \sqrt{\frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \ldots + (x_n - \bar{x})^2}{n}}.\]
Дисперсия того же массива — подкоренное выражение, то есть средний квадрат отклонений от среднего арифметического: \[S_x^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \ldots + (x_n - \bar{x})^2}{n}.\]
Обе величины показывают, насколько сильно числа набора разбросаны около своего среднего.
Ответ: стандартное отклонение \(S_x\) — это среднее квадратичное отклонений чисел набора от их среднего арифметического, а дисперсия \(S_x^2\) — средний квадрат этих отклонений, то есть подкоренное выражение в формуле стандартного отклонения.
Дисперсия стоит под корнем в формуле стандартного отклонения, поэтому дисперсия — квадрат стандартного отклонения, а стандартное отклонение — арифметический квадратный корень из дисперсии: \[S_x = \sqrt{S_x^2}.\]
Ответ: дисперсия равна квадрату стандартного отклонения, а стандартное отклонение равно арифметическому квадратному корню из дисперсии.
В числителе дисперсии стоит сумма квадратов, то есть сумма неотрицательных слагаемых, а такая сумма равна нулю только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю. Значит, из \(S_x^2 = 0\) следует, что \(x_1 - \bar{x} = 0\), \(x_2 - \bar{x} = 0\), ..., \(x_n - \bar{x} = 0\): все числа набора совпадают со средним арифметическим, а потому равны между собой.
Обратно, если все числа набора равны одному и тому же числу, то их среднее арифметическое равно этому же числу, все отклонения равны нулю и дисперсия равна нулю.
Ответ: дисперсия равна нулю тогда и только тогда, когда все числа набора равны между собой (и, значит, равны своему среднему арифметическому).
Отклонения от среднего измеряются в тех же единицах, что и данные, а возведение в квадрат, усреднение и извлечение корня возвращают исходные единицы, поэтому стандартное отклонение измеряется в чел./км\(^2\).
Дисперсия — квадрат стандартного отклонения, поэтому её единицы — квадраты исходных: (чел./км\(^2\))\(^2\). Из-за такой непривычной квадратичной природы единицы дисперсии обычно не указывают.
Ответ: стандартное отклонение измеряется в чел./км\(^2\), дисперсия — в (чел./км\(^2\))\(^2\); единицы дисперсии обычно не указывают.
Обе величины показывают, насколько сильно числа набора разбросаны около своего среднего арифметического.
Стандартным отклонением числового массива \(x_1,\ x_2,\ \ldots,\ x_n\) называется среднее квадратичное отклонений этих чисел от их среднего арифметического \(\bar{x}\): \[S_x = \sqrt{\frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \ldots + (x_n - \bar{x})^2}{n}}.\]
Дисперсией того же массива называется подкоренное выражение — средний квадрат отклонений от среднего арифметического: \[S_x^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \ldots + (x_n - \bar{x})^2}{n}.\]
Например, у набора \(1;\ 1;\ 5;\ 5\) среднее арифметическое равно \(\bar{x} = \frac{1 + 1 + 5 + 5}{4} = 3\), отклонения от него равны \(-2;\ -2;\ 2;\ 2\), поэтому дисперсия равна \(S_x^2 = \frac{4 + 4 + 4 + 4}{4} = 4\), а стандартное отклонение — \(S_x = \sqrt{4} = 2\).
Ответ: стандартное отклонение \(S_x\) — это среднее квадратичное отклонений чисел набора от их среднего арифметического, а дисперсия \(S_x^2\) — средний квадрат этих отклонений, то есть подкоренное выражение в формуле стандартного отклонения.
Дисперсия стоит под корнем в формуле стандартного отклонения, поэтому дисперсия — это квадрат стандартного отклонения, а стандартное отклонение — арифметический квадратный корень из дисперсии: \[S_x = \sqrt{S_x^2}.\]
Отсюда видно и различие в единицах измерения: стандартное отклонение выражается в тех же единицах, что и сами данные, а дисперсия — в квадратах этих единиц. Для набора \(1;\ 1;\ 5;\ 5\) дисперсия равна 4, а стандартное отклонение — \(\sqrt{4} = 2\).
Ответ: дисперсия равна квадрату стандартного отклонения, а стандартное отклонение равно арифметическому квадратному корню из дисперсии.
В числителе дроби, задающей дисперсию, стоит сумма квадратов, то есть сумма неотрицательных слагаемых. Такая сумма равна нулю только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю, значит, равенство \(S_x^2 = 0\) означает, что \(x_1 - \bar{x} = 0\), \(x_2 - \bar{x} = 0\), ..., \(x_n - \bar{x} = 0\). Все числа набора совпадают со средним арифметическим, а потому равны между собой.
Обратно, если все числа набора равны одному и тому же числу, то их среднее арифметическое равно этому же числу, все отклонения равны нулю и дисперсия равна нулю.
Например, у набора \(7;\ 7;\ 7;\ 7\) среднее арифметическое равно 7 и дисперсия равна нулю, а у набора \(6;\ 7;\ 7;\ 8\) дисперсия уже положительна: \(S_x^2 = \frac{1 + 0 + 0 + 1}{4} = 0{,}5\).
Ответ: дисперсия равна нулю тогда и только тогда, когда все числа набора равны между собой (и, значит, равны своему среднему арифметическому).
Стандартное отклонение — это среднее квадратичное отклонений от среднего арифметического, а отклонения измеряются в тех же единицах, что и сами данные. Возведение в квадрат, усреднение и извлечение корня возвращают исходные единицы, поэтому стандартное отклонение измеряется в чел./км\(^2\).
Дисперсия — это квадрат стандартного отклонения, поэтому её единицы — квадраты исходных: (чел./км\(^2\))\(^2\). Именно из-за такой непривычной квадратичной природы единицы дисперсии обычно вообще не указывают.
Ответ: стандартное отклонение измеряется в чел./км\(^2\), дисперсия — в (чел./км\(^2\))\(^2\); единицы дисперсии обычно не указывают.
