Страница 21 номер 27, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Как изменятся первый и третий квартили числового набора, если: а) каждое число умножить на 2; б) каждое число увеличить на 2; в) каждое число умножить на \(-1\)?
Пусть у массива \(x = (x_1,\ x_2,\ \ldots,\ x_n)\) первый квартиль равен \(K_1\), а третий равен \(K_3\). Определение квартиля говорит только о том, сколько чисел не больше и сколько не меньше данного числа, — за этими неравенствами и следим.
а) Неравенство \(x_i \leqslant K_1\) равносильно неравенству \(2x_i \leqslant 2K_1\), а неравенство \(x_i \geqslant K_1\) — неравенству \(2x_i \geqslant 2K_1\). Значит, про число \(2K_1\) в новом наборе известно ровно то же, что про \(K_1\) в старом, поэтому \(2K_1\) — первый квартиль нового набора, и точно так же \(2K_3\) — третий.
Оба квартиля увеличились в 2 раза.
б) Неравенство \(x_i \leqslant K_1\) равносильно неравенству \(x_i + 2 \leqslant K_1 + 2\), и так же для знака \(\geqslant\): количество чисел в каждой группе не изменилось, поэтому первый квартиль нового набора равен \(K_1 + 2\), а третий — \(K_3 + 2\).
Оба квартиля увеличились на 2.
в) При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: неравенство \(x_i \geqslant K_1\) равносильно неравенству \(-x_i \leqslant -K_1\), а неравенство \(x_i \leqslant K_1\) — неравенству \(-x_i \geqslant -K_1\).
Значит, про число \(-K_1\) в новом наборе известно, что хотя бы три четверти чисел не больше него и хотя бы четверть не меньше, — а это определение третьего квартиля; про число \(-K_3\) известно, что хотя бы четверть чисел не больше него и хотя бы три четверти не меньше, — это определение первого квартиля.
Следовательно, у нового набора первый квартиль равен \(-K_3\), а третий равен \(-K_1\): квартили умножились на \(-1\) и поменялись местами.
Ответ: а) оба квартиля увеличатся в 2 раза; б) оба квартиля увеличатся на 2; в) квартили умножатся на \(-1\) и поменяются местами — первым квартилем нового набора станет \(-K_3\), а третьим квартилем станет \(-K_1\).
Как изменятся первый и третий квартили числового набора, если: а) каждое число умножить на 2; б) каждое число увеличить на 2; в) каждое число умножить на \(-1\)?
Пусть у массива \(x = (x_1,\ x_2,\ \ldots,\ x_n)\) первый квартиль равен \(K_1\), а третий равен \(K_3\). Определение квартиля говорит только о том, сколько чисел массива не больше и сколько не меньше данного числа, поэтому в каждом пункте достаточно проследить, что происходит с этими неравенствами.
а) Умножим каждое число на 2. Неравенство \(x_i \leqslant K_1\) равносильно неравенству \(2x_i \leqslant 2K_1\), а неравенство \(x_i \geqslant K_1\) равносильно неравенству \(2x_i \geqslant 2K_1\). Значит, про число \(2K_1\) в новом наборе известно ровно то же, что про \(K_1\) в старом: хотя бы четверть чисел не больше него и хотя бы три четверти чисел не меньше него. Поэтому \(2K_1\) — первый квартиль нового набора. Точно так же \(2K_3\) — третий квартиль нового набора.
Оба квартиля увеличились в 2 раза.
б) Прибавим к каждому числу 2. Неравенство \(x_i \leqslant K_1\) равносильно неравенству \(x_i + 2 \leqslant K_1 + 2\), и так же для знака \(\geqslant\). Количество чисел в каждой из групп не изменилось, поэтому первым квартилем нового набора будет \(K_1 + 2\), а третьим — \(K_3 + 2\).
Оба квартиля увеличились на 2.
в) Умножим каждое число на \(-1\). При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: неравенство \(x_i \geqslant K_1\) равносильно неравенству \(-x_i \leqslant -K_1\), а неравенство \(x_i \leqslant K_1\) равносильно неравенству \(-x_i \geqslant -K_1\).
Значит, про число \(-K_1\) в новом наборе известно: хотя бы три четверти чисел не больше \(-K_1\) и хотя бы четверть чисел не меньше \(-K_1\), — а это в точности определение третьего квартиля. Так же про число \(-K_3\) известно, что хотя бы четверть чисел не больше него и хотя бы три четверти не меньше, — это определение первого квартиля.
Следовательно, у нового набора первый квартиль равен \(-K_3\), а третий квартиль равен \(-K_1\): квартили умножились на \(-1\) и поменялись местами.
Ответ: а) оба квартиля увеличатся в 2 раза; б) оба квартиля увеличатся на 2; в) квартили умножатся на \(-1\) и поменяются местами — первым квартилем нового набора станет \(-K_3\), а третьим квартилем станет \(-K_1\).
